解决方案
方法：递归法
为了解决这个问题，我们需要理解“中位数的作用是什么”。在统计中，中位数被用来：
将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。
如果理解了中位数的划分作用，我们就很接近答案了。
首先，让我们在任一位置 ii 将 \text{A}A 划分成两个部分：
left_A | right_AA[0], A[1], ..., A[i-1] | A[i], A[i+1], ..., A[m-1]
由于 \text{A}A 中有 mm 个元素， 所以我们有 m+1m+1 种划分的方法（i = 0 \sim mi=0?m）。
我们知道：
\text{len}(\text{left\_A}) = i, \text{len}(\text{right\_A}) = m - ilen(left_A)=i,len(right_A)=m?i.
注意：当 i = 0i=0 时，\text{left\_A}left_A 为空集， 而当 i = mi=m 时, \text{right\_A}right_A 为空集。
采用同样的方式，我们在任一位置 jj 将 \text{B}B 划分成两个部分：
left_B | right_BB[0], B[1], ..., B[j-1] | B[j], B[j+1], ..., B[n-1]
将 \text{left\_A}left_A 和 \text{left\_B}left_B 放入一个集合，并将 \text{right\_A}right_A 和 \text{right\_B}right_B 放入另一个集合。 再把这两个新的集合分别命名为 \text{left\_part}left_part 和 \text{right\_part}right_part：
left_part | right_partA[0], A[1], ..., A[i-1] | A[i], A[i+1], ..., A[m-1]B[0], B[1], ..., B[j-1] | B[j], B[j+1], ..., B[n-1]
如果我们可以确认：
- \text{len}(\text{left\_part}) = \text{len}(\text{right\_part})len(left_part)=len(right_part)
- \max(\text{left\_part}) \leq \min(\text{right\_part})max(left_part)≤min(right_part)
那么，我们已经将 \{\text{A}, \text{B}\}{A,B} 中的所有元素划分为相同长度的两个部分，且其中一部分中的元素总是大于另一部分中的元素。那么：
\text{median} = \frac{\text{max}(\text{left}\_\text{part}) + \text{min}(\text{right}\_\text{part})}{2}median=2max(left_part)+min(right_part)?
要确保这两个条件，我们只需要保证：
i + j = m - i + n - ji+j=m?i+n?j（或：m - i + n - j + 1m?i+n?j+1） 如果 n \geq mn≥m，只需要使 \ i = 0 \sim m,\ j = \frac{m + n + 1}{2} - i \\ i=0?m, j=2m+n+1??i
\text{B}[j-1] \leq \text{A}[i]B[j?1]≤A[i] 以及 \text{A}[i-1] \leq \text{B}[j]A[i?1]≤B[j]
ps.1 为了简化分析，我假设 \text{A}[i-1], \text{B}[j-1], \text{A}[i], \text{B}[j]A[i?1],B[j?1],A[i],B[j] 总是存在，哪怕出现 i=0i=0，i=mi=m，j=0j=0，或是 j=nj=n 这样的临界条件。 我将在最后讨论如何处理这些临界值。
ps.2 为什么 n \geq mn≥m？由于0 \leq i \leq m0≤i≤m 且 j = \frac{m + n + 1}{2} - ij=2m+n+1??i，我必须确保 jj 不是负数。如果 n < mn<m，那么 jj 将可能是负数，而这会造成错误的答案。
所以，我们需要做的是：
在 [0，m][0，m] 中搜索并找到目标对象 ii，以使：
\qquad \text{B}[j-1] \leq \text{A}[i]\B[j?1]≤A[i] 且 \ \text{A}[i-1] \leq \text{B}[j],\ A[i?1]≤B[j], 其中 j = \frac{m + n + 1}{2} - ij=2m+n+1??i
接着，我们可以按照以下步骤来进行二叉树搜索：
- 设 \text{imin} = 0imin=0，\text{imax} = mimax=m, 然后开始在 [\text{imin}, \text{imax}][imin,imax] 中进行搜索。
- 令 i = \frac{\text{imin} + \text{imax}}{2}i=2imin+imax?， j = \frac{m + n + 1}{2} - ij=2m+n+1??i
-
现在我们有 \text{len}(\text{left}\_\text{part})=\text{len}(\text{right}\_\text{part})len(left_part)=len(right_part)。 而且我们只会遇到三种情况：
-
\text{B}[j-1] \leq \text{A}[i]B[j?1]≤A[i] 且 \text{A}[i-1] \leq \text{B}[j]A[i?1]≤B[j]：
这意味着我们找到了目标对象 ii，所以可以停止搜索。 -
\text{B}[j-1] > \text{A}[i]B[j?1]>A[i]：
这意味着 \text{A}[i]A[i] 太小，我们必须调整 ii 以使 \text{B}[j-1] \leq \text{A}[i]B[j?1]≤A[i]。
我们可以增大 ii 吗？
是的，因为当 ii 被增大的时候，jj 就会被减小。
因此 \text{B}[j-1]B[j?1] 会减小，而 \text{A}[i]A[i] 会增大，那么 \text{B}[j-1] \leq \text{A}[i]B[j?1]≤A[i] 就可能被满足。
我们可以减小 ii 吗？
不行，因为当 ii 被减小的时候，jj 就会被增大。
因此 \text{B}[j-1]B[j?1] 会增大，而 \text{A}[i]A[i] 会减小，那么 \text{B}[j-1] \leq \text{A}[i]B[j?1]≤A[i] 就可能不满足。
所以我们必须增大 ii。也就是说，我们必须将搜索范围调整为 [i+1, \text{imax}][i+1,imax]。 因此，设 \text{imin} = i+1imin=i+1，并转到步骤 2。 -
\text{A}[i-1] > \text{B}[j]A[i?1]>B[j]： 这意味着 \text{A}[i-1]A[i?1] 太大，我们必须减小 ii 以使 \text{A}[i-1]\leq \text{B}[j]A[i?1]≤B[j]。 也就是说，我们必须将搜索范围调整为 [\text{imin}, i-1][imin,i?1]。
因此，设 \text{imax} = i-1imax=i?1，并转到步骤 2。
-
当找到目标对象 ii 时，中位数为：
\max(\text{A}[i-1], \text{B}[j-1]), \max(A[i?1],B[j?1]), 当 m + nm+n 为奇数时
\frac{\max(\text{A}[i-1], \text{B}[j-1]) + \min(\text{A}[i], \text{B}[j])}{2}, \2max(A[i?1],B[j?1])+min(A[i],B[j])?, 当 m + nm+n 为偶数时
现在，让我们来考虑这些临界值 i=0,i=m,j=0,j=ni=0,i=m,j=0,j=n，此时 \text{A}[i-1],\text{B}[j-1],\text{A}[i],\text{B}[j]A[i?1],B[j?1],A[i],B[j] 可能不存在。 其实这种情况比你想象的要容易得多。
我们需要做的是确保 \text{max}(\text{left}\_\text{part}) \leq \text{min}(\text{right}\_\text{part})max(left_part)≤min(right_part)。 因此，如果 ii 和 jj 不是临界值（这意味着 \text{A}[i-1], \text{B}[j-1],\text{A}[i],\text{B}[j]A[i?1],B[j?1],A[i],B[j] 全部存在）, 那么我们必须同时检查 \text{B}[j-1] \leq \text{A}[i]B[j?1]≤A[i] 以及 \text{A}[i-1] \leq \text{B}[j]A[i?1]≤B[j] 是否成立。 但是如果 \text{A}[i-1],\text{B}[j-1],\text{A}[i],\text{B}[j]A[i?1],B[j?1],A[i],B[j] 中部分不存在，那么我们只需要检查这两个条件中的一个（或不需要检查）。 举个例子，如果 i = 0i=0，那么 \text{A}[i-1]A[i?1] 不存在，我们就不需要检查 \text{A}[i-1] \leq \text{B}[j]A[i?1]≤B[j] 是否成立。 所以，我们需要做的是：
在 [0，m][0，m] 中搜索并找到目标对象 ii，以使：
(j = 0(j=0 or i = mi=m or \text{B}[j-1] \leq \text{A}[i])B[j?1]≤A[i]) 或是 (i = 0(i=0 or j = nj=n or \text{A}[i-1] \leq \text{B}[j]),A[i?1]≤B[j]), 其中 j = \frac{m + n + 1}{2} - ij=2m+n+1??i
在循环搜索中，我们只会遇到三种情况：
- (j = 0(j=0 or i = mi=m or \text{B}[j-1] \leq \text{A}[i])B[j?1]≤A[i]) 或是
(i = 0(i=0 or j = nj=n or \text{A}[i-1] \leq \text{B}[j])A[i?1]≤B[j])
这意味着 ii 是完美的，我们可以停止搜索。- j > 0j>0 and i < mi<m and \text{B}[j - 1] > \text{A}[i]B[j?1]>A[i]
这意味着 ii 太小，我们必须增大它。- i > 0i>0 and j < nj<n and \text{A}[i - 1] > \text{B}[j]A[i?1]>B[j]
这意味着 ii 太大，我们必须减小它。
感谢 @Quentin.chen 指出： i < m \implies j > 0i<m?j>0 以及 i > 0 \implies j < ni>0?j<n 始终成立，这是因为：
m \leq n,\ i < m \implies j = \frac{m+n+1}{2} - i > \frac{m+n+1}{2} - m \geq \frac{2m+1}{2} - m \geq 0m≤n, i<m?j=2m+n+1??i>2m+n+1??m≥22m+1??m≥0
m \leq n,\ i > 0 \implies j = \frac{m+n+1}{2} - i < \frac{m+n+1}{2} \leq \frac{2n+1}{2} \leq nm≤n, i>0?j=2m+n+1??i<2m+n+1?≤22n+1?≤n
所以，在情况 2 和 3中，我们不需要检查 j > 0j>0 或是 j < nj<n 是否成立。
class Solution {public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {int m = A.length;int n = B.length;if (m > n) { // to ensure m<=nint[] temp = A; A = B; B = temp;int tmp = m; m = n; n = tmp;}int iMin = 0, iMax = m, halfLen = (m + n + 1) / 2;while (iMin <= iMax) {int i = (iMin + iMax) / 2;int j = halfLen - i;if (i < iMax && B[j-1] > A[i]){iMin = i + 1; // i is too small}else if (i > iMin && A[i-1] > B[j]) {iMax = i - 1; // i is too big}else { // i is perfectint maxLeft = 0;if (i == 0) { maxLeft = B[j-1]; }else if (j == 0) { maxLeft = A[i-1]; }else { maxLeft = Math.max(A[i-1], B[j-1]); }if ( (m + n) % 2 == 1 ) { return maxLeft; }int minRight = 0;if (i == m) { minRight = B[j]; }else if (j == n) { minRight = A[i]; }else { minRight = Math.min(B[j], A[i]); }return (maxLeft + minRight) / 2.0;}}return 0.0;}
}