9.通电
【问题描述】
2015年，全中国实现了户户通电。作为一名电力建设者，小明正在帮助一带一路上的国家通电。
这一次，小明要帮助 n 个村庄通电，其中 1 号村庄正好可以建立一个发电站，所发的电足够所有村庄使用。
现在，这 n 个村庄之间都没有电线相连，小明主要要做的是架设电线连接这些村庄，使得所有村庄都直接或间接的与发电站相通。
小明测量了所有村庄的位置（坐标）和高度，如果要连接两个村庄，小明需要花费两个村庄之间的坐标距离加上高度差的平方，形式化描述为坐标为 (x_1, y_1) 高度为 h_1 的村庄与坐标为 (x_2, y_2) 高度为 h_2 的村庄之间连接的费用为
sqrt((x_1-x_2)*(x_1-x_2)+(y_1-y_2)*(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2)。
在上式中 sqrt 表示取括号内的平方根。请注意括号的位置，高度的计算方式与横纵坐标的计算方式不同。
由于经费有限，请帮助小明计算他至少要花费多少费用才能使这 n 个村庄都通电。
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n ，表示村庄的数量。
接下来 n 行，每个三个整数 x, y, h，分别表示一个村庄的横、纵坐标和高度，其中第一个村庄可以建立发电站。
【输出格式】
输出一行，包含一个实数，四舍五入保留 2 位小数，表示答案。
【样例输入】
4
1 1 3
9 9 7
8 8 6
4 5 4
【样例输出】
17.41
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000，0 <= x, y, h <= 10000。
解题思路：典型的最小生成树问题。建图，将数据坐标化，然后算出所有村庄之间的连接费用，赋值到图中，在使用Prim()算法求最小费用。
AC代码如下：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <string.h>
using namespace std;
#define INF 1E9
struct Village{
int x,y,h;
//三个整数 x, y, h，分别表示一个村庄的横、纵坐标和高度，其中第一个村庄可以建立发电站。
Village(){ }
Village(int xx,int yy,int hh):x(xx),y(yy),h(hh){ }
}VLG[1001];//村庄编号从1->n
int n;//村庄数量
double G[1001][1001];//G[i][j]表示 村庄i,j之间的连接费用; 若为值 INF则表示未连接
int vis[1001];
priority_queue<pair<double,int>> PQ;
void init(){//初始化图
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=n;j++)
G[i][j]=INF;
}
double calFare(int pos1,int pos2){
double dist=sqrt((VLG[pos1].x-VLG[pos2].x)*(VLG[pos1].x-VLG[pos2].x)+(VLG[pos1].y-VLG[pos2].y)*(VLG[pos1].y-VLG[pos2].y) );
double fare=dist+(VLG[pos1].h-VLG[pos2].h)*(VLG[pos1].h-VLG[pos2].h);
return fare;
}
void connectVLG(int vlg1,int vlg2){
double fare=calFare(vlg1,vlg2);
G[vlg1][vlg2]=fare;
G[vlg2][vlg1]=fare;
}
void BuildGraph(){
//建立无向有权图
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
connectVLG(i,j);
}
}
}
double Prim(){
double res=0;
vis[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
PQ.push(make_pair(-G[1][i],i));//优先队列，将最大的值 放在 队首，区负值，min=>max 置于队列头部
}
while(PQ.size()){
int to=PQ.top().second;
double cost=PQ.top().first;
PQ.pop();
if(vis[to])
continue;
vis[to]=1;
res+=cost;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i!=to)
PQ.push(make_pair(-G[to][i],i));
}
}
res=abs(res);
printf("%.2lf\n",res);
return res;
}
//最小生成树解题,Prim 算法
int main(int argc, char** argv) {
cin>>n;
//读取数据
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>VLG[i].x>>VLG[i].y>>VLG[i].h;
}
init();
BuildGraph();
memset(vis,0,sizeof(vis));
Prim();
return 0;
}