首先我们来讲讲为什么要把信号表达成傅里叶级数，因为三角函数作为线性系统的输入时具有频率不变的特性，举一个例子，假设线性系统的输入信号为,输出信号为
其中，，
从这个例子可以看出，输入是正弦信号，输出是一个与输入频率相同的正弦信号，只是幅度和相位发生了变化。其他任何一种周期信号（例如方波、三角波）都不具备这种波形保持特性。
复变函数
复变函数是指以复数为自变量的函数称为复变函数。在通信中最重要的复变函数就是复指数函数，即，将其麦克劳林展开式为：
令,则
而
故
上式就是著名的欧拉公式，欧拉公式将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系。
傅里叶级数
一、三角形式的傅里叶级数
首先假设一下周期信号，周期为，即，其角频率为，如果满足狄里赫利条件（实际当中所有周期信号都满足这个条件，不满足的都是刻意造出来的），即
- 在任意一个周期内，有限个间断点；
- 在任意一个周期内，有限的极值；
- 在任意一个周期内，其绝对值可积。
则可以表达成傅里叶级数：
想要求解式中系数和需要知道三角函数的正交性，即
- 正弦函数和余弦函数是正交的，
- 不同频率的正弦函数是正交的，
- 不同频率的余弦函数是正交的，
因此，要求直流分量只需对公式两边进行一个周期内积分，所有非直流分量的积分都为0，只剩下；求系数则将公式两边都乘以后再积分，根据正交性，右边只剩下系数，依次类推可得，表达式如下：
二、复指数形式的傅里叶级数
根据欧拉公式可得
代入三角形式的傅里叶级数公式得到
令
则
其中，也称作离散频谱，计算公式如下：