Douglas-Rachford Splitting Method(DRSM)

回想PPA应用于包含问题 $0 \in T(x)$时，每个子问题都需要计算预解算子 $J_{cT} = (I+cT)^{-1}$，其中 $c>0$。对于很多极大单调算子，可能就算预解算子 $J_{cT}$很困难，所以考虑 $T = P+Q$，其中P,Q是两个极大单调算子，使得 $J_{cP}$和 $J_{cQ}$比 $J_{cT}$更容易计算。该问题可以视为PPA的一种推广，其主要为了解决以下包含问题：
$0 \in P(x)+Q(x)$
其中P和Q是两个给定的最大单调算子，对 $\forall x^0 \in domain(Q)$，选取 $q_0 \in Q(x^0)$，并且令 $z^0 = x^0+\beta q^0$，则DRSM迭代如下：
$z^{k+1} = J_{\beta P}((2J_{\beta P}-I)(z^k))+(I-J_{\beta Q})(z^k).$
令 $G_{\beta,P,Q} = J_{\beta P}(2J_{\beta Q}-I)+(I-J_{\beta Q})$，上式可写为 $z^{k+1} = G_{\beta,P,Q}(z^k)$
有文章证得算子 $S_{\beta, P, Q} = (G_{\beta,P,Q})^{-1}-I$是极大单调的。进一步有，若 $z^*$是 $S_{\beta,P, Q}$的零点，则此时 $J_{\beta Q}(z^*)$的确是 $P+Q$的零点。所以有以下结论：
给定两个极大单调算子P和Q，用PRSM求P+Q的零点等价于应用PPA于包含问题 $0\in S_{\beta, P, Q}$，其中 $c_k = 1$。
记 $\widetilde{z}^k = G_{\beta,P,Q}(z^k)$，DRSM的relaxed版本如下：
$z^{k+1} =\rho_k \widetilde{z}^k +(1-\rho_k)z^k \\\qquad \qquad= \rho_kG_{\beta,P,Q}(z^k)+(1-\rho_k)z^k$