这道题的建模真的非常的秀, 非常牛逼。
先讲建模过程。源点到每一行连一条弧, 容量为这一行的和减去列数, 然后每一列到汇点连一条弧, 容量为这一列
的和减去行数, 然后每一行和列之间连一条弧, 容量为19。然后求最大流, 最后矩阵中每一个元素的值就是其所在
列和行所连的弧的容量加1.
让我来解释一下。设每一个行为xi, 每一列为yi。在网络流中, 每一个xi都有多条弧连到所有的yi, 在矩形当中
每一行的每一个元素都是每一列的一部分。在网络流中,对于一个yi来说, 所有的xi都有一条弧连到这个yi, 而
在矩阵中, 每一列都是由每一行的一部分构成的。发现了什么?矩阵这个模型和建出来的图其实是等价的。
那么如果要满足题目条件, 那就意味着每一行的和和每一列的和都是题目给出的和, 也就是说, 所有源点
到xi的弧都是满载的, 也就是流量等于容量, yi到汇点也是满载的, 这样才满足题目的条件。
那么什么时候是满载的呢?显然, 当满载的时候显然是网络流的最大流, 这个时候流量肯定是最大的。
因此, 我们求一波最大流, 然后每一条xi到yi的弧的流量加1就是矩阵中(xi, yi)元素的值。
另外, 因为网络流中会有0流, 而题目要求的是1到20, 直接做的话可能导致某些元素值为0.
为了避免这种情况, 把每一个元素减去1, 范围成了0到19, 就即使有0流也不怕了。
所以建图的时候每一列的和减去行数(列中每一个元素减去1), 行的和减去列数。
最后输出答案的时候加1就ok了。
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++)
using namespace std;const int MAXN = 112;
struct Edge
{int from, to, cap, flow;Edge(int from, int to, int cap, int flow) : from(from), to(to), cap(cap), flow(flow) {};
};
vector<Edge> edges;
vector<int> g[MAXN];
int h[MAXN], cur[MAXN], id[MAXN][MAXN], n, m, s, t;void AddEdge(int from, int to, int cap)
{edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));g[from].push_back(edges.size() - 2);g[to].push_back(edges.size() - 1);
}bool bfs()
{memset(h, 0, sizeof(h));queue<int> q;q.push(s);h[s] = 1;while(!q.empty()){int u = q.front(); q.pop();REP(i, 0, g[u].size()){Edge& e = edges[g[u][i]];if(!h[e.to] && e.cap > e.flow){h[e.to] = h[u] + 1;q.push(e.to);}}}return h[t];
}int dfs(int x, int a)
{if(x == t || a == 0) return a;int flow = 0, f;for(int& i = cur[x]; i < g[x].size(); i++){Edge& e = edges[g[x][i]];if(h[x] + 1 == h[e.to] && (f = dfs(e.to, min(a, e.cap - e.flow))) > 0){e.flow += f;edges[g[x][i] ^ 1].flow -= f;flow += f;if((a -= f) == 0) break;}}return flow;
}int solve()
{int ret = 0;while(bfs()) memset(cur, 0, sizeof(cur)), ret += dfs(s, 1e9);return ret;
}int main()
{int T;scanf("%d", &T);REP(kase, 1, T + 1){scanf("%d%d", &n, &m);REP(i, 0, m + n + 2) g[i].clear();edges.clear();s = n + m, t = n + m + 1;int last = 0;REP(i, 0, n){int x;scanf("%d", &x);AddEdge(s, i, x - last - m);last = x;}last = 0;REP(i, 0, m){int x;scanf("%d", &x);AddEdge(n + i, t, x - last - n);last = x;}REP(i, 0, n)REP(j, 0, m){AddEdge(i, n + j, 19);id[i][j] = edges.size() - 2;}solve();printf("Matrix %d\n", kase);REP(i, 0, n){REP(j, 0, m)printf("%d ", edges[id[i][j]].flow + 1);puts("");}puts("");}return 0;
}