素数筛法 - O( N log ( N ) ) 和 O( N )

注：代码很长，不要害怕，不难的，核心代码只有几行，贴上完整代码是为了大家测试方便。

首先要明白的是 素数的倍数一定不是素数。

筛法1

在0-n之间的数字筛法的基本思想：

首先假设0-n全部都是素数

然后从2开始遍历到sqrt(n)，

如果该数是素数，那么在区间 [ 这个数的平方, n ] 上将是这个数字的倍数的数标记为非素数。

如果该数是合数，重复上一步。

证明略。

时间复杂度O( N log ( N ) )

#include <cstdio> 
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define MAXN 100000
using namespace std;
/*
素数筛法 
*/
int valid[MAXN+1];
int prime[MAXN+1];
int tot;
void getPrime(){memset(valid, 0, sizeof(valid));tot = 0;for(int i = 2; i <= sqrt(MAXN); i++){if(valid[i]) continue;for(int j = i*i; j <= MAXN; j+=i){valid[j] = 1;}}for(int i = 2; i <= MAXN; i++){if(!valid[i]) prime[tot++] = i;}
} 
// test
int main(){getPrime();for(int i = 0; i < tot; i++){printf("%d ",prime[i]);}return 0;
}

在0-n之间的数字筛法的基本思想：

首先假设0-n全部都是素数

然后从2开始遍历到n，我们假设当前遍历位置为i

如果该数是素数，记录该素。

不论该数是不是素数，我们都遍历已经存储的素数，并且将该素数的i倍标记为不是素数。

但是如果i是当前遍历的素数的倍数，那么就结束素数的遍历。

证明略。

时间复杂度O( N )

#include <cstdio> 
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define MAXN 100000
using namespace std;
/*
素数筛法 
*/
int valid[MAXN+1];
int prime[MAXN+1];
int tot;
void getPrime(){memset(valid, 0, sizeof(valid));tot = 0;for(int i = 2; i <= MAXN; i++){if(!valid[i]){prime[tot++] = i;}for(int j = 0; (j < tot) && (i*prime[j] <= MAXN); j++){valid[i*prime[j]] = 1;if(i%prime[j] == 0) break;}}
} 
// test
int main(){getPrime();for(int i = 0; i < tot; i++){printf("%d ",prime[i]);}return 0;
}