【 NLS 】Gauss-Netwon algorithm Iteration Procedure of TOA

上篇博文：Newton – Raphson Iteration Procedure of TOA - Based Positioning 仿真了NLS中的牛顿—拉夫森仿真的TOA定位。

这篇博文采用同样的体系仿真高斯—牛顿的TOA定位。

这些内容的根基在：NLS ALGORITHMS of TOA - Based Positioning

仿真条件和上篇博文一致。

首先给出一次实验定位示意图，信噪比为30dB。

肉眼可以分辨，还是存在定位误差的，难道需要我们继续提高信噪比吗？

信噪比为30dB已经足够大了，因此，如果误差不能接受，只有换方案了，或者换一种估计方法。这是后话。

下面接着讨论，讨论收敛情况吗？我想还是算了吧，从上篇博文中的牛顿——拉夫森方法中，我们已经看到收敛很快，我们的迭代次数不必太多，但取30是最保险的。

直接给出收敛图吧：

可见，收敛是完全没有问题的，但是收敛到哪里了很重要，对于目标的真实位置为（2,3），我们可见，x，y并没有收敛到真实值，这是很自然的，因为我们的定位本身就有误差嘛。

接着分析RMSE，也就是均方根误差。

先给出没有修理过的完整图：

这幅图看似有点离谱，信噪比在1左边时，均方根误差超级大，有的地方甚至大到了无穷，没办法画出来。而1的右边貌似误差为0。

别着急，这只是肉眼的错觉而已，由于RMSE轴的坐标太大了，以至于1右边的误差很小很难显示，我们对y轴换成对数显示来看看误差：

这就看清楚了，信噪比为20dB时候的定位误差不过是757m，信噪比为30dB的定位误差不过是250m，这不是和牛顿——拉夫森迭代算法的定位误差差不多吗？

信噪比小于1时候的定位误差超大，这点和牛顿——拉夫森不同，这说明了高斯——牛顿方法在信噪比比较小的时候比较敏感。

但是这里的定位误差可以看出，高斯——牛顿迭代算法在信噪比为20以后，定位误差貌似比牛顿——拉夫森小，效果更好。

当然，都是差不多的，不能这么苛刻。

从博文：NLS ALGORITHMS of TOA - Based Positioning中，我们知道高斯——牛顿方法需要的几个函数如下：

Gauss – Newton

For the Gauss – Newton method, the updating rule is

(10)

where $\bold { G(f_{TOA}(\hat {x}^k) ) }$ is the Jacobian matrix of $\bold{ f_{TOA}(\hat{x}^k)}$ computed at $\bold{\hat{x}^k}$ and has the following expression:

(11)

可知，只需要一个雅克比矩阵，雅克比矩阵的matlab实现如下：

function G = jacob(X, x)
% Jacobian matrix computation
% --------------------------------
% G = jacobian(X, x)
% G = Jacobian matrix 
% x = 2D position estimate
% X = matrix for receiver positions
%[dim,L] = size(X); % L is number of receivers; dim is dimension of space
f_TOA = sqrt(sum((ones(L,1)*x'-X').^2,2));
G = (ones(L,1)*x' - X')./(f_TOA*ones(1,dim));

还是很简单的。

太详细的细节就不给出了，我也很矛盾。

【 NLS 】Gauss-Netwon algorithm Iteration Procedure of TOA - Based Positioning

Gauss – Newton