codejam-Round1A-2008-Numbers

题意

求（3+√5）n次方的整数部分后三位

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分析

乍一看觉得就是普通的一道快速幂的题，准备直接开搞，才发现因为√5无限不循环小数，这就使得整数部分即使在千位以上仍然会对百位以下造成影响（1000*0.1=1）。
想到这里，不难发现这是一道数学题。
观察这个式子(3+√5)，不难想到一种常见套路——共轭
设$a=3+√5$,$b=3-√5$

SolutionA

因为
$a^n$可以写作$p_n+q_n√5$的形式
同理，$b^n=p_n-q_n√5$所以$a^n+b^n=2*p_n$
因为 $0<3-√5<1$,所以$0<b^n<1$，又因为$p_n$必为整数，答案也为整数，所以答案就可表示为$p_n-1$
所以，只要快速地求$p_n$即可
$(3+√5)(p_{n-1}+q_{n-1}√5)=[3*p_{n-1}+5*q_{n-1}+(p_{n-1}+3*q_{n-1})√5]$
得到转移公式：$p_n=3*p_{n-1}+5*q_{n-1}$,$q_n=p_{n-1}+3*q_{n-1}$
再利用矩阵快速幂，求出结果即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MOD 1000
using namespace std;
int cnt;
struct node{int a,b,c,d;node(int aa,int bb,int cc,int dd):a(aa),b(bb),c(cc),d(dd) {}node(){}
};
node s(node a,node b){return node((a.a*b.a+a.b*b.c)%MOD,(a.a*b.b+a.b*b.d)%MOD,(a.c*b.a+a.d*b.c)%MOD,(a.d*b.d+a.c*b.b)%MOD);
}
node pow(int n){if(n==1)return node(3,5,1,3);node x=pow(n/2);if(n%2==1)return s(node(3,5,1,3),s(x,x));elsereturn s(x,x);
}
void work(int n){node a=pow(n);PF("Case #%d: %03d\n",++cnt,(a.a*2+MOD-1)%MOD);
}
int t;
int main(){SF("%d",&t);int x;for(int o=1;o<=t;o++){SF("%d",&x);work(x);}
}

SolutionB

设$Xn=a?+b?$
根据二项式定理

$$Xn=a?+b?=2*\sum_{r=0}^{n/2}C_n^{2*r}3^{n-2*r}*5^r$$ （套用二项式定理暴力拆开即可）
solutionA已经说明， $X_n$就是我们要的答案
观察发现：
$a+b=6,a*b=4$
可以得到方程 $x^2-6x+4=0$
所以 $a^2=6a-4,b^2=6b-4$
$a^3=6a^2-4a,b^3=6b^2-4b$
以此类推
$a^{n+2}=6a^{n+1}-4a^n,b^{n+2}=6b^{n+1}-4b^n$
所以 $x^{n+2}=6x^{n+1}-4x^n$
这就得到了转移公式，和solutionA一样，矩阵快速幂即可。