一、0/1背包
1.1 方法总结
有N件物品和?个最多能被重量为W 的背包。第 i 件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i]。每件物品只能??次，求解将哪些物品装?背包里物品价值总和最大。
- dp[ j ]：为容量为 j 的背包所背的最大价值
- dp[ j ] = max ( dp[ j ], dp[ j - weight[ i ] ] + value[ i ] )
注意遍历顺序：
1、先遍历物品再遍历背包容量
2、倒序遍历背包容量，防止重复选取一个物品
void test_1_wei_bag_problem() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;// 初始化vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量//倒序可以基于上轮没添加物品i时的 dp[j - weight[i]] 来添加物品dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);} }cout << dp[bagWeight] << endl;
}1.2 分割等和子集
416：给你一个只包含正整数的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int length = nums.length;int sum = 0;for(int i=0;i<length;i++)sum+=nums[i];if(sum%2==1) return false;int target = sum/2;//dp[i]表示背包容量为i时，最多能收益dp[j]，本题每个数字nums[i]的收益即nums[i],所占重量为nums[i]int[] dp = new int[target+1];for(int i =0;i<length;i++){for(int j=target;j>=nums[i];j--){dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}return dp[target]==target;}
}1.2 最后一块石头的重量II
1049:
class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int length = stones.length;int sum = 0;for(int i =0;i<length;i++){sum+=stones[i];}int target = sum/2;int[] dp = new int[target+1];//背包问题，转换成两个集合总和最接近for(int i = 0;i<length;i++){for(int j = target;j>=stones[i];j--){dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);}}//石头分成两部分，一部分总重量dp[target],另一部分sum-dp[target]return (sum-dp[target])-dp[target];}
}1.3 目标和
494：给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。 向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ： 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。 返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同表达式的数目。
class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int length = nums.length;int sum=0;for(int i=0;i<length;i++)sum+=nums[i];//将nums的数分为两部分，一部分的和是left，left-(sum-left)=target->left=(target+sum)/2;//target+sum不为偶数，或者小于，无解if((target+sum)%2==1||(target+sum)<0) return 0;int left = (target+sum)/2;System.out.println(left);int[] dp = new int[left+1];dp[0]=1;//将left作为背包容量，nums[i]作为每个物品的重量，dp[j]的作为装满j容量时的方法数量for(int i=0;i<length;i++){for(int j = left;j>=nums[i];j--){dp[j]+=dp[j-nums[i]];}}return dp[left];}
}1.4 一和零
474：给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。 请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中最多有 m 个 0 和 n 个 1 。 如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
class Solution {public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {int[][] dp =new int[m+1][n+1];for(int i=0;i<strs.length;i++){int zeronums=0;int onenums=0;for(int k =0;k<strs[i].length();k++){if(strs[i].charAt(k)=='0')zeronums++;else onenums++;}//和普通01背包不同，这个背包的重量有两个维度，将平时d[j]变为d[j][k]，表示j个0，k个1最多有几个元素for(int j=m;j>=zeronums;j--){for (int k=n; k>=onenums;k--){dp[j][k]=Math.max(dp[j][k],dp[j-zeronums][k-onenums]+1);}}}return dp[m][n];}
}二、完全背包
2.1 方法总结
有N件物品和?个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件 物品都有无限个（也就是可以放?背包多次），求解将哪些物品装?背包?物品价值总和最?。 完全背包和01背包问题唯?不同的地方就是，每种物品有无限件。
01背包的核心代码：
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}多重背包的核心代码：
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}注意遍历顺序：
- 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
- 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
- 如果求最少的元素个数，内外层顺序无关紧要
- 正序遍历背包容量，可以选取一个物品
void test_CompletePack() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}
}2.2 零钱兑换II
518：给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。假设每一种面额的硬币有无限个
初始化 dp[ 0 ]=1
class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {int[] dp = new int[amount+1];dp[0]=1;/**先遍历物品，再遍历背包容量，对于每个d[j]来说这里，每次添加新的物品，这一轮用的钱币和上一轮不一样，所以不会和之前的方法重复*/for(int i =0;i<coins.length;i++){for(int j = coins[i];j<=amount;j++){dp[j]+=dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
}2.3 组合总和IV
377：给你一个由不同整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
注意：先遍历背包容量，再遍历物品
class Solution {public int combinationSum4(int[] nums, int target) {int[] dp = new int[target+1];dp[0]=1;for(int i = 1;i<=target;i++){for(int j=0;j<nums.length;j++)if(i-nums[j]>=0)dp[i]+=dp[i-nums[j]];}return dp[target];}
}2.4 零钱兑换
322：给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。 计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。 你可以认为每种硬币的数量是无限的。
由于求的是最少硬币个数，和组合或者排列无关，至于最少的元素个数有关，因此先遍历物品或者先遍历容量都可以
class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {int[] dp = new int[amount+1];for(int i=1;i<=amount;i++)dp[i]=Integer.MAX_VALUE;dp[0]=0;for(int i=0;i<coins.length;i++){for(int j=coins[i];j<=amount;j++)//如果dp[j-coins[i]]有方法能达到if(dp[j-coins[i]]!=Integer.MAX_VALUE)dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);}if(dp[amount]==Integer.MAX_VALUE) return -1;return dp[amount];}
}2.5 完全平方数
279：给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。 给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
class Solution {public int numSquares(int n) {int[] dp =new int[n+1];dp[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++)dp[i]=Integer.MAX_VALUE;for(int i =1;i<=n;i++){for(int j=1;j*j<=i;j++){dp[i]=Math.min(dp[i],dp[i-j*j]+1);}}return dp[n];}
}2.6 单词拆分
139：给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。请你判断是否可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。 注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。
class Solution {public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {int length = s.length();boolean[] dp = new boolean[length+1];dp[0] = true;for(int i=1;i<=length;i++){for(int j=0;j<i;j++){//j 表示截取的起始位置下标 i表示结束位置下标（字符串中的下标而不是dp数组的下标）// 截取完之后剩余单词的结尾下标j-1(字符串的下标) ->d[j]String temp = s.substring(j,i);if(wordDict.contains(temp)&&dp[j]){dp[i]=true;break;}}}return dp[length];}
}