【HDU】6435 CSGO 求K维曼哈顿距离下距离最大点对

题目大意

给定$n$种主武器和$m$把种武器，每种武器都有一个攻击力$S$和$k$种副属性$a_i$。
选择一种主武器和一种副武器，使得
$$S_m+S_s+\sum |a_m[i]?a_s[i]|$$最大化。

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思路

$\sum |a_m[i]?a_s[i]|$这个东西，其实就是高纬度的曼哈顿距离。
二维曼哈顿距离是我们最常见的$|x1?x2|+|y1+y2|$
如果我们把曼哈顿距离同属性的放到一块，再去掉绝对值，就会变成形如$(?x1+y1)+(x1?y1)$，二维的话，就有$4$种情况，$k$维的话就有$2^k$种形式。

我们单独把每个武器的副属性给展开成这种$2^k$种形式，用$01$二进制表示每个属性是$+$还是$?$,把它们全部相加，并且把攻击力加上，记为$S_m[i][j]$,即第$i$把主武器,展开形式为$j$。

$k^{\prime }$就是$k$按位取反(对应到每个属性就是正负相反)

那么$max(S_m+S_s+\sum |a_m[i]?a_s[i]|)=max(S_m[i][k]+S_s[j][k^{\prime }]),i\in [1,n],j\in [1.m]$
然而，遍历这个式子的时间复杂度是$O(nmk)$，所以我们想办法化简这个式子。

考虑一个简单的问题:
设有两个数组$a_n,b_m$,求$max(a[i]+b[j]),i\in [1,n],j\in [1.m]$。

直接硬算需要两重循环

注意到 $a[i]+b[j]$这个组合遍历到了所有$a[i],a[j]$的组合，即任意指定的$i,j$,$a[i],a[j]$都会被遍历到。

而$max(a[i]+b[j])\le max(a[i])+max(b[j])$,
而$max(a[i])+max(b[j])$这个值也一定能被遍历到，所以就有
$$max(a[i]+b[j])=max(a[i])+max(b[j])$$

那么这么算就从两重循环变成了两个循环。

对应到这个题目中，$max(S_m[i][k]+S_s[j][k^{\prime }]),i\in [1,n],j\in [1.m]$,实际上也遍历到了所有组合(注意合法组合一定比不合法的大，比如|5 - 2|的合法组合是$+5,?2$,那么它就比不合法组合$?5,+2$要大)。

所以上面式子也可以继续化简:
$max(S_m[i][k]+S_s[j][k^{\prime }])=max(S_m[i][k])+max(s_s[j][k^{\prime }])$

而对于每个$k$，我们只需要得到它的最大值，所以$i$这一维也可以省去,我们$S_m[k]=max(S_m[i][k])$
那么上式子可以再度化简为:
$$max(S_m[k]+S_s[k^{\prime }])$$

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;int T, n, m, k, s[8], x;const long long INF = 0x7f7f7f7f;long long s1[1 <<11], s2[1 << 11];int main()
{
    scanf("%d", &T);while(T--) {
    for(int i = 0; i < 1 << 11; ++i)s1[i] = s2[i] = -INF;scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    scanf("%d", &x);for(int j = 1; j <= k; ++j)scanf("%d", &s[j]);for(int j = 0; j < 1 << k; ++j) {
    long long sum = x;for(int l = 1; l <= k; ++l) {
    if((j >> (l - 1)) & 1)sum += s[l];elsesum -= s[l];}s1[j] = max(s1[j], sum);}}for(int i = 1; i <= m; ++i) {
    scanf("%d", &x);for(int j = 1; j <= k; ++j)scanf("%d", &s[j]);for(int j = 0; j < 1 << k; ++j) {
    long long sum = x;for(int l = 1; l <= k; ++l) {
    if((j >> (l - 1)) & 1)sum -= s[l];//这里我直接反着存，相当于直接取反了elsesum += s[l];}s2[j] = max(s2[j], sum);}}long long ans = 0;for(int i = 0; i <= 1 << k; ++i)ans = max(ans, s1[i] + s2[i]);printf("%lld\n", ans);}return 0;
}