当前位置: 代码迷 >> 综合 >> 002-深度学习数学基础(神经网络、梯度下降、损失函数)
  详细解决方案

002-深度学习数学基础(神经网络、梯度下降、损失函数)

热度:50   发布时间:2023-11-28 00:15:16.0

002-深度学习数学基础(神经网络、梯度下降、损失函数)

这里在进入人工智能的讲解之前,你必须知道几个名词,其实也就是要简单了解一下人工智能的数学基础,不然就真的没办法往下讲了。

本节目录如下:

  • 前言。
  • 监督学习与无监督学习。
  • 神经网络。
  • 损失函数。
  • 梯度下降。

0. 前言

人工智能可以归结于一句话:针对特定的任务,找出合适的数学表达式,然后一直优化表达式,直到这个表达式可以用来预测未来

接下来就来一句一句的分析这句话:

  • 针对特定的任务:

首先我们需要知道的是,人工智能其实就是为了让计算机看起来像人一样智能,为什么这么说呢?举一个人工智能的例子:

我们人看到一个动物的图片,就可以立刻知道这个动物是猫,还是狗。但是计算机却不可以,如果计算机可以分出类别,那么这就会是一个具有图像分类功能的人工智能小例子。

这里的图像分类就是我们所说的特定任务,这就是我们希望写出一个人工智能的程序来做的事情。

还有一些其他的常见的任务:人脸识别,目标检测,图像分割,自然语言处理 等等。

  • 找出合适的数学表达式:

学过高等数学并且有计算机思维的人都知道,世界中几乎所有的事情都可以用数学函数来表达出来,我们先不管这个数学表达式是离散还是连续,也不管他的次数多高,反正他能达到表示特定任务的一种目的。

比如说,针对一个西瓜质量好坏的预测任务,可以设出以下的表达式:
f(x)=a?x1+b?x22+c?x33+df(x) = a*x_{1} + b*x_{2}^{2} + c*x_{3}^{3} + d f(x)=a?x1?+b?x22?+c?x33?+d
解释如下:

1、x1,x2,x3x1,x2,x3x1x2x3 可以看作判断西瓜好坏的判断依据,比如可以是:瓜皮纹路,敲击声音,瓜皮颜色等等。

2、a,b,c,da,b,c,dabcd 就是这个表达式的系数,一旦数学表达式定下来了,那么接下来需要做的事情就是找出合适的系数,使得这个表达式可以很好的判断出西瓜质量的好坏。

所以,针对上文提到的特定任务,都可以用数学表达式表示出来,当然,我们会尽可能找简单、高效的表达式。

  • 一直优化这个表达式:

上边引出表达式之后,会发现当表达式确定下来之后,就要寻找合适的系数了,寻找系数的过程就被称之为训练网络的过程。

我们优化表达式的重要思想是:一直调整系数值,使得预测出的数据 与 真实数据之间的差距尽可能的最小。

比如:假设预测的数据f1(x)f_{1}(x)f1?(x)真实数据yyy,我们通过一直改变系数的值,来找出可以使得预测数据与真实数据之间距离最小的一组,最小的一组数据就是我们需要的系数。

其中,距离计算公式可以是如下的表达式:
loss=(f1(x)?y)2loss = \sqrt{(f_{1}(x) - y )^2 } loss=(f1?(x)?y)2 ?
通过这个表达式,得到的 loss 值就是真实值与预测值之间的距离。

然后,接下来的优化就是针对这个loss 表达式来进行的,目的就是让loss的值达到最小。

因为loss值达到最小的时候,就意味着我们的预测值与真实值距离很相近,预测越准确。

这里值得一提的是,这里的loss表达式的优化过程,其实就是将loss公式对函数f(x)的系数求导。

所以当loss最小的时候,就意味着此时的系数最合适。

具体的细节往下看。

  • 用优化好的表达式预测未来:

经过上边的优化,此时函数会得到一个相对好一点的系数,然后就可以使用这个函数来预测未来的事情了。

这就是达到了人工只能的目的了。

所以,下边我们就要仔细讨论,数学表达式的构建,距离函数的构建,距离的优化。

1. 神经网络

神经网络的英文是:neural network (简称:NN)。

神经网络其实就是变形的数学表达式,它通过拼装基础组件(神经元)来模拟出数学表达式

1.01. 什么是神经网络

一说神经网络,大家首先想到的就是神经元,其实没错,神经网络这个名词就是从神经元这里演变过来的。所以我们做一下类比。

1.01.001. 神经元

image-20210329214302602

如图所示,这个图就是我们人体的神经元的放大图。

通常我们身体的 A 部位发出的命令,要指挥 B 部位响应,就要通过 AB 发出信号。这个信号的强弱影响着 B 反应的强弱。

所以,这就是神经网络的构思所在:

构建出一个类似于神经元的结构,上一个节点的输入(A处的控制) 以及权重(信号的强弱)共同决定下一个节点的输出(B处的反应)

这句话,现在看不懂没关系,有个印象就好,继续往下看吧。

1.01.002. 神经网络

image-20210329220431652

如图所示就是一个最简单的神经网络结构,这个结构的数学表达式是:Y=X1?W1+X2?W2Y = X1*W1 + X2*W2Y=X1?W1+X2?W2

图中的圆圈我们就把他类比于神经元,图中的各个结构解释如下:

  • 其中 X1,X2 就是这个神经网络的输入,他相当于就是人体大脑发出的控制命令。

  • W1,W2 就是权重,他是用来控制不同输入信号占比大小的数据,比如:想让控制X1作用明显一点,那么对应的W1就大一点。

  • Y 就是输出,他就是输入数据与权重作用之后的最终结果,在神经元中也就是最终对身体某个部位的控制信号。

1.02. 神经网络的数学原理

神经网络的数学原理非常简单,简单总结下来就是一句话:不同的输入作用于各自的权重之后的和即为我们需要的结果。

其实就可以大致理解为我们的函数 : f(x)=a?x1+b?x2f(x) = a*x1 + b*x2f(x)=a?x1+b?x2 一样,所谓的权重就是我们方程的系数。

细心的人观察上边的公式就会发现,一个神经元节点就可以归结于一个运算式子。所以我们这里就来针对上图,分析分析含有一个神经元节点的公式。

image-20210329232553920

从图中可以看得出来,最终的输出结果 Y 是由 输入(X) 以及 权重(W) 共同决定的。

他们最终的计算结果 Y 其实说白了就是一个计算公式:Y=X1?W1+X2?W2Y = X1*W1 + X2*W2Y=X1?W1+X2?W2 ,这个公式的含义大家应该都明白,给不同的输入 分配不同的权重 ,从而得到想要的结果。

这就是神经网络中一个神经元的数学原理,当把神经元的个数增多之后,原理以此类推,只不过是要增加权重W以及输入X的个数而已。

下边就可以看作是一个,含有两层的神经网络结构。
image-20210331220912454

  • 第一层节点: 111213 。第二层节点: 21

  • 输入: X1X2 。 输出 : Y

于是,根据公式:输出 等于 输入作用于 权重, 得出以下推导 :

  • 输入: X1X2

  • 节点11的值: Y11=X1?W1?1+X2?W2?1Y_{11} = X_{1} * W_{1-1} + X_{2}*W_{2-1}Y11?=X1??W1?1?+X2??W2?1? .

  • 节点12的值: Y12=X1?W1?2+X2?W2?2Y_{12} = X_{1} * W_{1-2} + X_{2}*W_{2-2}Y12?=X1??W1?2?+X2??W2?2? .

  • 节点13的值: Y13=X1?W1?3+X2?W2?3Y_{13} = X_{1} * W_{1-3} + X_{2}*W_{2-3}Y13?=X1??W1?3?+X2??W2?3? .

  • 节点21的值就是最终输出 YY=Y21=Y11?W3?1+Y12?W3?2+Y13?W3?3Y = Y_{21} = Y_{11} * W_{3-1} + Y_{12}*W_{3-2} + Y_{13}*W_{3-3}Y=Y21?=Y11??W3?1?+Y12??W3?2?+Y13??W3?3? .

所以,最终的整合式子为:
Y=Y11?W3?1+Y12?W3?2+Y13?W3?3=(X1?W1?1+X2?W2?1)?W3?1+(X1?W1?2+X2?W2?2)?W3?2+(X1?W1?3+X2?W2?3)?W3?3Y = Y_{11} * W_{3-1} + Y_{12}*W_{3-2} + Y_{13}*W_{3-3} \\ = (X_{1} * W_{1-1} + X_{2}*W_{2-1})*W_{3-1} \\ + (X_{1} * W_{1-2} + X_{2}*W_{2-2})*W_{3-2} \\+ (X_{1} * W_{1-3} + X_{2}*W_{2-3})*W_{3-3} Y=Y11??W3?1?+Y12??W3?2?+Y13??W3?3?=(X1??W1?1?+X2??W2?1?)?W3?1?+(X1??W1?2?+X2??W2?2?)?W3?2?+(X1??W1?3?+X2??W2?3?)?W3?3?

于是,我们可以发现,类似于这样的堆叠方式,我们可以组合成很多的数学函数。

这就是神经网络,他的目的在于将数学公式堆砌出来,至于为什么要这样堆砌,是因为这样堆砌计算机计算比较方便呗。

1.03 总结

到目前为止你已经知道了神经网络的由来,并且知道神经网络与数学公式之间的关系。

此时你需要明确的知识点是:

  • 人工智能就是使用已有的数据,拟合出一个可以用来预测未来的公式。
  • 这个公式的系数需要一直调整,从而找出一组最为合适,正确率较高的系数。
  • 因为系数的寻找需要大量的计算,所以需要将这个公式用神经网络表示出来的,因为在计算机中这样表示的时候计算最为方便。

2. 监督学习与无监督学习

这个知识点比较简单,就一些单纯的概念。

监督学习:就是我们收集到的数据是有标签的。

就是说,我们收集到的数据是已经分好类的。

比如说:当前当前有一批样本数据,

  • x1, x2, x6, x9, x13属于类别y1类。
  • x3, x4, x5, x8, x11属于类别y2类。
  • x7, x10, x12属于类别y3类。

然后接下来我们使用这些数据的时候,就可以使用已有标签的数据,去拟合出曲线,用以预测未来。

无监督学习:我们收集到的数据是无标签的。

就是说,收集到的数据并没有固定的类别,我们需要做的事情就是挖掘数据内部的联系,给他们聚类,找出类别。

image-20210409150539940

如图所示,挖掘出数据内部的联系,让他自动归类。

3. 损失函数

上边解释过了,损失函数的作用就是计算 真实值预测值 之间距离的 (距离其实可以简单理解为两个数据之间的差距)。

这里介绍一些常见的几种损失函数,以供大家入门使用。

3.01. 一些前提

这里给定一些大前提,下边的几种损失函数通用的那种。

  • 真实值y ,他就是针对某一组输入x的真实标签。
  • 预测值f(x),他就是针对输入x的预测标签。
  • 样本数m,他就是我们每次输入多少样本进行计算,比如:某一次输入5x,得到5个预测结果,这里的m=5.

3.02. 绝对值损失函数

其实就是简单的计算 真实值 与 预测值 之间的绝对值距离而已。

公式
J(y,f(x))=J(w,b)=1m∑i=1m∣yi?f(xi)∣J(y,f(x)) = J(w,b) = \frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}|y_{i}-f(x_{i})| J(y,f(x))=J(w,b)=m1?i=1m?yi??f(xi?)
解释

  • J(y,f(x))J(y,f(x))J(y,f(x)) 的意思就是,这个损失函数的参数是:真是标签y 与 预测数据f(x)
  • J(w,b)J(w,b)J(w,b) 的意思是,这个损失函数的目的是优化参数 wb 。这里的wb其实就是系数的矩阵形式。
  • 后边具体的计算公式就是:输入有m个样本,计算出这m个样本的距离绝对值和,然后再求均值。

3.03 均方差损失函数

就是将上边式子的绝对值换成平方就好了。

公式:
J(y,f(x))=J(w,b)=12m∑i=1m(yi?f(xi))2J(y,f(x)) = J(w,b) = \frac{1}{2m}\sum^{m}_{i=1}(y_{i}-f(x_{i}))^2 J(y,f(x))=J(w,b)=2m1?i=1m?(yi??f(xi?))2

解释:

  • 这里只是将绝对值换成了平方,除以m换成了除以2m

3.04 交叉熵损失函数

这个就比较麻烦了,交叉熵损失函数一般用于解决分类问题。

标签

在通常的分类问题中,标签y的取值一般只有 01

1 表示是当前类别, 0 表示不是当前类别。

公式:
J(y,f(x))=J(w,b)=?1m∑i=1m(f(x)?log(y)+(1?f(x))?log(1?y))J(y,f(x)) = J(w,b) = -\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}(\ f(x)*log(y) + (1-f(x))*log(1-y)\ ) J(y,f(x))=J(w,b)=?m1?i=1m?( f(x)?log(y)+(1?f(x))?log(1?y) )

解释:

  • 上边说了,yf(x) 都只能取 10 中的一种可能性。所以,上述公式的效果就是:
  • 如果 y与 f(x) 相同,则 J = 0.

你带入 y=1 , f(x)=1 试试就知道了。

  • 如果 y与 f(x) 不同,则 J = 无穷大.

你带入 y=1 , f(x)=0 试试就知道了。

3.05 总结

到这里你已经学习了三种常见的损失函数。

此时你应该有一个明确的知识点就是:

  • 损失函数是用来计算真实值与预测值之间距离的。
  • 当损失函数的值越小就代表着真实值与预测值之间的距离就越小,也就意味着预测的越准。

4. 梯度下降

好了好了,上边过完理论知识,这里来一个真真正正的数学内容了,其实不难,看我慢慢分析。

  • 上边我们提到对数学函数优化的时候,只是介绍了理论的知识。

我们知道了损失函数就是衡量预测值与真实值之间距离的公式。

并且知道,损失函数的值越小,真实值和预测值之间的距离越小,也即:预测的越准。

  • 但是并没有带着大家深入探究如何优化。

也就是没有告诉大家怎么使得损失函数的值越来越小。

其实,这里使用的数学知识就是 :求偏导

4.01. 数学例子

这里以一个简单的数学例子来引入梯度下降的内容。

  • 场景引入

在数学课中我们经常做的一个题型就是:已知一个函数f(x)的表达式,如何求出这个式子的最小值点。

在数学题中我们经常用的方法就是:将函数f(x)x求导,然后令导数式子为0,求出此时的x的值,即为最小值点的位置。

  • 具体例子

求函数 f(x)=2?x2?12?x+20f(x) = 2*x^2-12*x+20f(x)=2?x2?12?x+20 的最小值点,并且求出最小值。

对函数求导
f(x)′=4?x?12f(x)' = 4*x - 12 f(x)=4?x?12
令导函数为0,求出此时的x
令f(x)′=0即4?x?12=0得到x=3令 \ \ f(x)'=0 \\ 即 \ 4*x-12 = 0 \\ 得到\ x=3   f(x)=0 4?x?12=0 x=3
此时,x = 3 即为函数 f(x) 的最小值点,带入原方程 f(3)= 2*9-12*3+20 = 2.

这个解题过程,想必大家都很熟悉吧。

下边就分析一下这个过程的数学原理了

4.02. 数学例子原理

梯度就是导数。

针对上边提到的方程的最小值求解,其实就是求出其梯度(导数)为0的位置,就是其最低点的位置。具体看下图:

  • 方程 f(x)=2?x2?12?x+20f(x) = 2*x^2-12*x+20f(x)=2?x2?12?x+20 图像如下:

image-20210408200432636

从图中可以看出,方程在不同位置的导数方向是不同的,只有在最低点的位置,导数为0,所以可以用导数为0的位置求出最低点。

上边举的例子是一个比较简单的例子,方程中只有一个未知数,但是在真实情况中,往往一个方程有很多未知数。

  • 比如:f(x,y)=2?x2+2?y+4?x?yf(x,y)=2*x^2+2*y+4*x*yf(x,y)=2?x2+2?y+4?x?y

此时需要做的事情就是针对每一个变量求偏导,求出该方程针对每个变量的梯度方向 (梯度方向就是数据变小的方向)。

于是,在方程的每个点上,都有多个梯度方向,最终将这多个方向合并,形成这个点的最终梯度方向 (数据变小的方向)

image-20210408202626398

如图,方程有两个变量x,y,于是在A点针对两个变量求偏导就可以得到各自的梯度方向(两个红色箭头的方向)。

然后,将两个梯度进行合并,得到最终的梯度方向ZZ方向就是方程在A点数据变小的方向了

4.03. 完整例子

上边讲完原理,这里就举出一个例子,带着大家走一遍梯度下降找最小值的过程。

假设此时的方程已知,并且根据方程绘制出的图像如下。

image-20210408210622580

  • 刚开始我们位于A点:

1、在A点处针对方程的各个变量求出偏导,于是便可以得到方程针对各个方向的梯度方向。

2、将A点处各个方向的梯度方向进行合并,形成最终的梯度方向。

3、最终的梯度方向就是AB方向。

4、于是向着AB方向走出一段距离,走到了B点。

  • 到达B点: (思路同上)

1、求出B点处各个方向的梯度方向,然后合并所有梯度方向,得到最终的B点处梯度方向 BC。

2、于是沿着BC方向,走出一段距离,到达C点。

  • …重复上述过程:

到达某个点之后,求出各方向的偏导数,然后合并得到最终的梯度方向。

然后沿着合并后的梯度方向走出一段距离到达下一个点。

然后在一直重复…

  • 到达K点:

K点就是最终的点,这就是优化得到的最重点。

这就是整个找最小点的可视化过程,但是其中提到更新的数学细节并没有提到,所以下边提一下用到的数学更新公式吧

4.04. 更新公式

一般我们梯度下降更新的数据只有函数的系数,然后函数的系数可以分为两类:权重(W)+偏差(b)

所以,更新的时候也就针对这两个参数就好了。

变量定义:

  • W : 方程的权重。 (可以简单理解为方程变量前面的系数)
  • b :方程的偏差。 (可以简单理解为方程中的常数)

比如:f(x,y)=2?x2+y2+3f(x,y) = 2*x^2+y^2+3f(x,y)=2?x2+y2+3 中,2 , 1就是权重,3就是偏差。

公式:

  • 更新权重WWnew=Wold?α??L?wW_{new} = W_{old} - \alpha *\frac{\partial L}{\partial w}Wnew?=Wold??α??w?L?.

原始点的权重是 WoldW_{old}Wold?,原始点此时针对W的梯度方向是?L?w\frac{\partial L}{\partial w}?w?L?.

α\alphaα 就是一段距离长度(它就是我们上文一直提到的走一段距离)。

所以 α??L?w\alpha *\frac{\partial L}{\partial w}α??w?L? 表达的含义就是沿着 W的梯度走一段长度为α\alphaα 的距离。

然后 新的W 就是 旧的W 减去那一段方向长度

  • 更新偏差:bnew=bold?α??L?bb_{new} = b_{old} - \alpha *\frac{\partial L}{\partial b}bnew?=bold??α??b?L?.

原理同 W .

这就是更新参数的整个梯度下降过程了。

5. 总结

到目前为止,基础的人工智能知识已经基本讲完了,这个时候我们再来仔细品味这句话。

针对特定的任务,找出合适的数学表达式,然后一直优化表达式,直到这个表达式可以用来预测未来

或许你就会有不一样的体会了。

ok,下一节就讲一讲Pytorch的基础使用,然后就是最终的手写体数字识别任务了。

  相关解决方案