3.5 线性方程组_综合

1 齐次线性方程组

$m$ 个方程 $n$ 个未知量的齐次线形方程组：
${a11x1+a12x2+?+a1nxn=0a21x1+a22x2+?+a2nxn=0??am1x1+am2x2+?+amnxn=0\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0\\ \end{cases}$
向量形式： $x1α1+x2α2+?+xnαn=0x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{0}$ ，其中
$αj=[a1ja2j?amj],j=1,2,?,n.\boldsymbol{\alpha}_j= \begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{bmatrix}, j=1,2,\cdots,n.$
矩阵形式： $Am×nx=0\boldsymbol{A_{m \times n}x}=\boldsymbol{0}$ ，其中
$A=[a11a21?a1na21a22?a2n???am1am2?amn],x=[x1x2?xn].\boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}, \boldsymbol{x}= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}.$

1.1 有解的条件

当 $r(A)=nr(\boldsymbol{A})=n$ 时（ $α1,α2,?,αn\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关），方程组有唯一 0?? 解；
当 $r(A)=r<nr(\boldsymbol{A})=r<n$ 时（ $α1,α2,?,αn\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关），方程组有非 0?? 解，且有 $n ? r$ 个线性无关解。

1.2 解的性质

若 $Aξ1=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_1=0$ ， $Aξ2=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_2=0$ ，则 $A(k1ξ1+k2ξ2)=0\boldsymbol{A}(k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2)=\boldsymbol{0}$ ，其中 $k_1,k_2$ 是任意常数。

1.3 基础解系和通解

基础解系：设 $ξ1,ξ2,?,ξn?r\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 满足：1?? 是方程组 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解；2?? 线性无关；3?? 方程组 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的任一解均可由 $ξ1,ξ2,?,ξn?r\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 线性表出，则称 $ξ1,ξ2,?,ξn?r\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 是方程组 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的基础解系。
通解：设 $ξ1,ξ2,?,ξn?r\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 是方程组 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的基础解系，则 $k1ξ1+k2ξ2+?+kn?rξn?rk_1\boldsymbol{\xi_1}+k_2\boldsymbol{\xi_2}+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\xi_{n-r}}$ 是方程组 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的通解，其中 $k1,k2,?,kn?rk_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$ 是任意常数。

1.4 解法

系数矩阵 $A\boldsymbol{A}$ ?? 最简阶梯型矩阵 $B\boldsymbol{B}$ （初等行变换），记 $r=r(A)=r(B)r=r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$ 。
按列找出一个秩为 $r$ 的子矩阵，剩余列位置的未知数设为自由变量。
按基础解系定义求出 $ξ1,ξ2,?,ξn?r\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 并写出通解。

2 非齐次线性方程组

$m$ 个方程 $n$ 个未知量的非齐次线形方程组：
${a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1a21x1+a22x2+?+a2nxn=b2??am1x1+am2x2+?+amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\\ \end{cases}$
向量形式： $x1α1+x2α2+?+xnαn=bx_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{b}$ ，其中
$αj=[a1ja2j?amj],j=1,2,?,n,b=[b1b2?bm].\boldsymbol{\alpha}_j= \begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{bmatrix}, j=1,2,\cdots,n, \boldsymbol{b}= \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{bmatrix}.$

方程组的未知数就是向量组中各向量的系数。方程组和向量组是同一个问题的两种表现形式，其本质一样，所以解决方法也一样。

矩阵形式： $Ax=b\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ ，其中
$A=[a11a21?a1na21a22?a2n???am1am2?amn],x=[x1x2?xn].\boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}, \boldsymbol{x}= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}.$
矩阵 $A\boldsymbol{A}$ 的增广矩阵：
$[A,b]=[α1,α2,?,αn,b]=[a11a21?a1nb1a21a22?a2nb2????am1am2?amnbm][\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}] = [\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n,\boldsymbol{b}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m\\ \end{bmatrix}$

2.1 有解的条件

若 $r(A)≠r([A,b])r(\boldsymbol{A}) \ne r([\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}])$ （ $b\boldsymbol{b}$ 不能由 $α1,α2,?,αn\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表出），则方程组无解；
若 $r(A)=r([A,b])=nr(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}]) = n$ （即 $α1,α2,?,αn\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关， $α1,α2,?,αn,b\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n,\boldsymbol{b}$ 线性相关），则方程组有唯一解；
若 $r(A)=r([A,b])=r<nr(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}]) = r < n$ ，则方程组有无穷多解。

2.2 解的性质

设 $η1,η2,η\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\boldsymbol{\eta}$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 的解， $ξ\boldsymbol{\xi}$ 是对应齐次线性方程组 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解，则：
- $η1?η2\boldsymbol{\eta}_1-\boldsymbol{\eta}_2$ 是 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解；
- $kξ+ηk\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}$ 是 $Ax=b\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 的解。

2.3 解法

增广矩阵 ?? 最简阶梯型矩阵（初等行变换）
对应齐次线性方程组的通解 ? 一个非齐次线性方程组的特解 ?? 非齐次线性方程组的通解

3 线形方程组有解的条件

方程组	秩	解
$Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$		必有解，至少有 0?? 解
$Am×nx=0\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$	$r(A)=nr(\boldsymbol{A})=n$	只有 0?? 解
	$r(A)<nr(\boldsymbol{A})<n$	无穷多解（ $n?r(A)n-r(\boldsymbol{A})$ 个线性无关解）
$Am×nx=b\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$	$r(A)≠r([A,b])r(\boldsymbol{A}) \ne r([\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}])$	无解
	$r(A)=r([A,b])=nr(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}])=n$	唯一解
	$r(A)=r([A,b])<nr(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}])<n$	无穷多个解

4 方程组的几何应用

4.1 平面

设空间中 $\geq 2)$ 张平面 $πi:Aix+Biy+Ciz+Di=0(i=1,2,?,m)\pi_i:A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0(i=1,2,\cdots,m)$ ，有：

$πi(i=1,2,?,m)\pi_i(i=1,2,\cdots,m)$ 无公共点 ?? $r(A)≠r(Aˉ)r(\boldsymbol{A}) \ne r(\bar{\boldsymbol{A}})$
$πi(i=1,2,?,m)\pi_i(i=1,2,\cdots,m)$ 相交于一点 ?? $r(A)=r(Aˉ)=3r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})=3$
$πi(i=1,2,?,m)\pi_i(i=1,2,\cdots,m)$ 相交于一直线 ?? $r(A)=r(Aˉ)=2r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})=2$
$πi(i=1,2,?,m)\pi_i(i=1,2,\cdots,m)$ 重合 ?? $r(A)=r(Aˉ)=1r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})=1$

其中
$A=[A1B1C1A2B2C2???AmBmCm],Aˉ=[A1B1C1?D1A2B2C2?D2????AmBmCm?Dm].\boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ A_m & B_m & C_m\\ \end{bmatrix}, \bar{\boldsymbol{A}}= \begin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 & -D_1\\ A_2 & B_2 & C_2 & -D_2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ A_m & B_m & C_m & -D_m\\ \end{bmatrix}.$

4.2 直线

设平面上 $\geq 2)$ 条直线 $li:aix+biy+ci=0(i=1,2,?,m)l_i:a_ix+b_iy+c_i=0(i=1,2,\cdots,m)$ ，有：

$li(i=1,2,?,m)l_i(i=1,2,\cdots,m)$ 无公共点 ?? $r(A)≠r(Aˉ)r(\boldsymbol{A}) \ne r(\bar{\boldsymbol{A}})$
$li(i=1,2,?,m)l_i(i=1,2,\cdots,m)$ 相交于一点 ?? $r(A)=r(Aˉ)=2r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})=2$
$li(i=1,2,?,m)l_i(i=1,2,\cdots,m)$ 重合 ?? $r(A)=r(Aˉ)=1r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})=1$

其中
$A=[a1b1a2b2??ambm],Aˉ=[a1a1?c1a2b2?c2???ambm?cm].\boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2\\ \vdots & \vdots\\ a_m & b_m\\ \end{bmatrix}, \bar{\boldsymbol{A}}= \begin{bmatrix} a_1 & a_1 & -c_1\\ a_2 & b_2 & -c_2\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ a_m & b_m & -c_m\\ \end{bmatrix}.$

Type	Page	Example
求齐次线性方程组的通解	`115`	`6.1`
求非齐次线性方程组的通解	`117`	`6.2`
根据方程组解的个数求参数	`118`	`6.3` + `6.4` + `6.5`
方程组有解的条件和解的判别	`121`	`6.6` + `6.7` + `6.8` + `6.9`
基础解系	`123`	`6.10` + `6.12`
通解	`126`	`6.15` + `6.20` + `6.21` + `6.22` + `6.23`
求两个方程组的公共解	`132`	`6.24`
同解方程组	`135`	`6.26`
几何应用	`136`	`6.29` + `6.30`