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线性代数 | (5) 线性方程组

热度:11   发布时间:2024-01-15 00:56:52.0

目录

1. 齐次线性方程组

2. 基础解系的求法

3. 非齐次线性方程组

4. 含参数的方程组


1. 齐次线性方程组

  • 齐次线性方程组解的性质

  • 齐次线性方程组解的性质

  • 基础解系的求法

  • 例题

 

2. 基础解系的求法

基础解系就是解空间中的一组基,通解是基础解系的线性组合。

  • 基础解系的求法

接下来,自由未知量x_{r+1},x_{r+2},...,x_n分别取如下向量:

然后可以分别得到真未知量x_1,...,x_r的取值:

可以得到解空间的一组基础解系:

证明:首先可以知道\xi_1,...,\xi_{n-r}是线性无关的,根据r维线性无关的向量组,增加n-r个分量,得到的n维向量组仍旧线性无关这一推论,\xi_1,...,\xi_{n-r}后n-r个分量线性无关,所以增加r个分量组成的n维向量组也是线性无关的。

从推导过程可以看出:基础解系不惟一,但所含向量个数相等,都 等于 n - r(A). (n为未知量的个数或者系数矩阵的列数)。

  • 定理

若齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r(A)=r<n,则它有基础解系,且基础解系(解空间中的一组基)所含解向量的个数为n-r.

推论1:

  • 例题

3. 非齐次线性方程组

  • 非齐次线性方程组

  • 非齐次线性方程组的有解判定

并非所有的非齐次线性方程组都有解,有解时,解的情况也不一样。

 

  • 非齐次线性方程组的解法

  • 例题

  • 非齐次方程组的求解步骤

  • 练习

4. 含参数的方程组

  • 例题

当a=0时,系数矩阵的秩为1,基础解系包含的向量数 n-1;

a = -\frac{n(n+1)}{2}时, 系数矩阵的秩为n-1,基础解系包含的向量数 1;

注意例2不可以使用行列式求解,因为参数不在系数里,之前使用的行列式是系数行列式。

 

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