线性代数（五）特征值和特征向量

一：特征值与特征向量

1.定义：

注：必须是方阵！！！

2.给定特征值求特征向量：


注：已知特征值，可利用行化简求特征向量，即此时的齐次方程有无穷解则有特征向量，即一个特征值对应多个特征向量。

3.几种特殊矩阵的特征值

注：这个推导没看，有兴趣的可以自己分析下！！！

4.特征空间

二：特征方程

2.1行列式求解的另一种方法–初等变换

之前的参考简单说过没有细讲，这里进行补充一下：https://blog.csdn.net/qq_37534947/article/details/109497169
注：这里强调了不作行倍乘，其实也是可以有的，只是在结果上需要在除以所谓的倍乘！！！
例子：

2.2可逆矩阵定理以及行列式性质的补充

注：可逆矩阵/非奇异矩阵-------行列式不为0----Ax=0只有唯一零解；不可逆矩阵/奇异矩阵------行列式为0------Ax=b有其他解。

2.3特征方程/特征多项式

注：特征方程其实就是求行列式的值，最后求出的解就是特征值。
例子：


注：其中所说的复根后面就不说了，这里知道n*n的矩阵一定有n个特征值，其中可能有重根或者复根，一般讨论实根！！！

2.4相似性

注：这部分了解即可-----------一般用不到！！！！！！！！！！！！

三：对角化

3.1从例子出发

3.2定理

注：上面的意思是，A如果可以对角化/A相似对角矩阵D------P列向量是特征向量，D对角矩阵对角线为特征值！！！！

证明：

3.3例子

注：自己看吧，我没有看！！

参考书籍：线性代数及其应用（原书第5版）
书籍下载：https://download.csdn.net/download/qq_37534947/13115301