【线性代数】1.7矩阵的二次型_综合

矩阵的二次型

1.二次型矩阵
2.标准形与规范形
- 1.标准形
- 2.规范形
- 3.正负惯性指数
- - 1.概念
  - 2.惯性定理
3.坐标变换
- 1.概念
- 2.定理
4.合同变换
5.正定二次型
- 1.概念
- 2.判定定理
6.例题
7.作业

1.二次型矩阵

??含有 $n$ 个变量 $x1,x2,?,xnx_1,x_2,\cdots,x_n$ 的二次齐次函数
$f(x1,x2,?,xn)=a11x12+a22x22+?+annxn2\;\;\;\;\;\;{f\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2\;}$
$+2a12x1x2+2a13x1x3+?+2a1nx1xn+2a23x2x3+?+2a2nx2xn+?+2an?1,nxn?1xn\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$
称为 $n$ 元二次型.若规定 $aij=aji,?i,j=1,2,?,na_{ij}=a_{ji},\forall i,j=1,2,\cdots,n$ ，则二次型有矩阵表示 $f(x1,x2,?,xn)=xTAxf\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x$
其中 $x=[x1,x2,?,xn]Tx=\left[x_1,x_2,\cdots,x_n\right]^T$ ， $A=[a_{ij}]$ 且 $A^T=A$ 是对称矩阵，称 $A$ 为二次型的矩阵.秩 $r (A)$ 称为二次型的秩，记为 $r (f)$

注意：矩阵为实对称矩阵。

2.标准形与规范形

1.标准形

??如果二次型中只含有变量分平方项，所有混合项 $xixj(i≠j)x_ix_j(i\neq j)$ 的系数全是零，即 $xTAx=d1x12+d2x22+?+dnxn2,\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x=d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2,$ 这样的二次型称为标准形

2.规范形

??在标准形中，若平方项的系数 $d_{j}$ 为1，-1或 0，即 $xTAx=x12+x22+?+xp2?xp+12???xp+q2,\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2,$ 则称其为二次型的规范形.

3.正负惯性指数

1.概念

??在二次型 $xTAx\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x$ 的标准形中，正平方项的个数 $p$ 称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数 $q$ 称为二次型的负惯性指数.

2.惯性定理

??对于一个二次型，不论选取怎么的坐标变换是它换位仅含平方项的标准形，其中正平方项的个数 $p$ ，负平方项的个数 $q$ 都是由所给二次型唯一确定的.

3.坐标变换

1.概念

如果方程组
${x1=c11y1+c12y2+c13y3x2=c21y1+c22y2+c23y3x3=c31y1+c32y2+c33y3\left\{\begin{array}{l}x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+c_{13}y_3\\x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+c_{23}y_3\\x3=c_{31}y_1+c_{32}y_2+c_{33}y_3\end{array}\right.$ 满足
$∣C∣=∣c11c12c13c21c22c23c31c32c33∣≠0\left|C\right|=\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{vmatrix}\neq0$
称为方程组为由 $x=[x1,x2,x3]Tx=\left[x_1,x_2,x_3\right]^T$ 到 $y=[y1,y2,y3]Ty=\left[y_1,y_2,y_3\right]^T$ 的坐标变换.
?
坐标变换用矩阵表示，即
$[x1x2x3]=[c11c12c13c21c22c23c31c32c33][y1y2y3]，或x=Cy\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\\begin{array}{c}c_{21}\end{array}&c_{22}&c_{23}\\\begin{array}{c}c_{31}\end{array}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}，或\boldsymbol x\boldsymbol=\boldsymbol C\boldsymbol y$ 其中 $C$ 是可逆矩阵.

2.定理

4.合同变换

两个 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ ，如果存在可逆矩阵 $C$ 使得
$C^TAC=B，$ 就称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同，记作 $A?BA\simeq B$ .并称由 $A$ 到 $B$ 的变换为合同变换，称 $C$ 为合同变换的矩阵.

5.正定二次型

1.概念

??对二次型 $xTAx\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x$ ，如果对任何 $x≠0x\neq0$ ，恒有 $xTAx>0\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x>0$ ，则称二次型 $xTAx\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x$ 是正定二次型，并称是对称矩阵 $A$ 是正定矩阵.

矩阵	条件
正定	$?x≠0,f(x)>0\forall x\neq0,f(x)>0$
负定	$?x≠0,f(x)<0\forall x\neq0,f(x)<0$
半正定	$?x≠0,f(x)?0\forall x\neq0,f(x)\geqslant0$
半负定	$?x≠0,f(x)?0\forall x\neq0,f(x)\leqslant0$

2.判定定理

$n$ 元二次型 $xTAx\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x$ 正定的充分必要条件有：
（1） $A$ 的正惯性指数是 $n$ ；
（2） $A$ 与 $E$ 合同，即存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^TAC=E$ ;
（3） $A$ 的所有特征值 $λ(i=1,2,?,n)\lambda(i=1,2,\cdots,n)$ 均为整数;
（4） $A$ 的各阶顺序主子式均大于零.
推论?? $xTAx\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x$ 正定的必要条件是：
（1） $aii>0(i=1,2,?,n)a_{ii}>0(i=1,2,\cdots,n)$ ；
（2） $∣A∣>0\left|A\right|>0$

6.例题

7.作业

6.用numpy求特征值特征向量

import numpy as np
A = np.mat([[1, 0], [0, 1]])
eigvalue, eigvector = np.linalg.eig(A)
print(eigvalue, eigvector)

[1. 1.] [[1. 0.][0. 1.]]