gym103261 I. Euclid‘s Algorithm

题意

给你$d$和$k$
询问$gcd((a+d{)}^k?a^k)$ 其中$a$为任意取值
$d$和$k$均为10^100

题解

看题目形式，显然是一个代码非常简短的数论题
不知道为啥过了一片，可能我们队伍的数论水平低于平均水平吧

首先先展开一下
$$(a+d{)}^k?a^k=\sum _{i=1}^k{C}_k^i{d}^i{a}^{k?i}$$
先对每一种质数$p$分开考虑
考虑到，如果$a$也拥有$p$的话，答案在大多数情况都会变大，这对我们取gcd是不优的
故先考虑$a$不包含$p$的情况
先引入kummer定理

$C_m^n$中含有p的指数次数为m-n在p进制下的退位个数
即m-n在p进制下的退位个数为t，则有$p^t|C_m^n$

不放先设$d=d^{\prime }?p^A,k=k^{\prime }?p^B$
如果$A=0$显然就不用考虑这个质数了
对于一个$i$来说，包含$p$的次幂为
$t=Ai+B?f(i,p)$，其中$f(i,p)$为$p$在$i$中的次幂
稍微解释一下$B?f(i,p)$，这个等式至少在$f(i,p)<B$即$i<p^B$时成立，在后文可以知道最小值仅需讨论这一范围就可以了
此时可以发现$Ai$随着$i$增加每次最少会增加$A\ge 1$，而$f(i,p)$的增量是不会超过$1$的
故$t$至少是单调不降的
$i=1$时$t=A+B$
$i=2$时$t=2A+B?f(i,p)$
故$A>1$时，$i=1$时$t$时唯一最小的，也就是p的贡献就是$p^{A+B}$了
但当$A=1$时，如果$f(2,p)=1$，那么$i=1$和$i=2$的次数是一样的，也就是两项会合并
这种情况当且仅当$p=2$
合并之后贡献即为$2?p^{A+B}$，也就是此时答案要乘$2$
稍微验证一下，$i=3$是不可能和$i=1,i=1$同时相同的
但同时你会发现，若$k=2$,$a$此时就有用了，因为在$i=2$时，$a$的系数为$0$，故我们可以通过调整$a$是的两项的$p$的指数发生改变而不能合并，此时答案将会变小

故对于$k=2$的情况分开讨论即可

接下来，接下来的答案即为d出现过的质因子在k中出现的次数*d
这一步用一个简单的gcd就可以了

时间复杂度$O(lo{g}^2(k))$

高精度用python解决即可

def gcd (a,b):while (a!=0):t=b%ab=aa=treturn bd,k=list(map(int,input().split()))
if (k==2):print(d*(2-d%2))
else:ans=1while (1):now=gcd(k,d)if (now==1): breakk=k//nowans=ans*nowif (d%4==2): ans*=2print(ans*d)