在球坐标曲面所围区域上讨论问题时，自然应采用求坐标 ( r , θ , φ ) (r,\theta,\varphi) (r,θ,φ)，此时 L a p l a c e Laplace Laplace算子
Δ 3 = 1 r 2 ? ? r ( r 2 ? ? r ) + 1 r 2 s i n θ ? ? θ ( s i n θ ? ? θ ) + 1 r 2 s i n 2 θ ? 2 ? φ 2 \Delta_3=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta\frac{\partial }{\partial \theta})+\frac{1}{r^2sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} Δ3?=r21??r??(r2?r??)+r2sinθ1??θ??(sinθ?θ??)+r2sin2θ1??φ2?2?
设 v ( r , θ , φ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) v(r,\theta,\varphi)=R(r)\Theta(\theta)\varPhi(\varphi) v(r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)，代入Helmholtz方程（1），两边同除以 R Θ Φ R\Theta \varPhi RΘΦ，有
1 r 2 ( r 2 R ′ ) ′ R + 1 r 2 [ 1 s i n θ ( s i n θ Θ ′ ) ′ Θ + 1 s i n 2 θ Φ ′ ′ Φ ] + k 2 = 0 \frac{\frac{1}{r^2}(r^2R')'}{R}+\frac{1}{r^2}[\frac{1}{sin\theta}\frac{(sin\theta\Theta')'}{\Theta}+\frac{1}{sin^2\theta}\frac{\varPhi''}{\varPhi}]+k^2=0 Rr21?(r2R′)′?+r21?[sinθ1?Θ(sinθΘ′)′?+sin2θ1?ΦΦ′′?]+k2=0
逐层剥离，得常微分方程
Φ ′ ′ + μ Φ = 0 1 s i n θ ( s i n θ Θ ′ ) ′ + ( λ ? μ s i n 2 θ ) Θ = 0 ( 6 ) 1 r 2 ( r 2 R ′ ) ′ + ( k 2 ? λ r 2 ) R = 0 ( 7 ) \varPhi''+\mu\varPhi=0 \\ \frac{1}{sin\theta}(sin\theta \Theta')'+(\lambda-\frac{\mu}{sin^2\theta})\Theta=0 \quad(6)\\ \frac{1}{r^2}(r^2R')'+(k^2-\frac{\lambda}{r^2})R=0 \quad (7) Φ′′+μΦ=0sinθ1?(sinθΘ′)′+(λ?sin2θμ?)Θ=0(6)r21?(r2R′)′+(k2?r2λ?)R=0(7)
其中，方程（7）称为球Bessel方程，可转化为Bessel方程。特别地，当 k = 0 k=0 k=0（Laplace方程）时，（7）式为Euler方程
r 2 R ′ ′ + 2 r R ′ ? λ R = 0 r^2R''+2rR'-\lambda R=0 r2R′′+2rR′?λR=0
关于 Θ ( θ ) \Theta(\theta) Θ(θ)的方程（6），经变量代换 x = c o s θ x=cos\theta x=cosθ，并记 y ( x ) = Θ ( a r c c o s x ) , μ = m 2 y(x)=\Theta(arccosx),\mu=m^2 y(x)=Θ(arccosx),μ=m2，可改写为S-L型方程
[ ( 1 ? x 2 ) y ′ ] ′ + ( λ ? m 2 1 ? x 2 ) y = 0 [(1-x^2)y']'+(\lambda-\frac{m^2}{1-x^2})y=0 [(1?x2)y′]′+(λ?1?x2m2?)y=0
称为m阶伴随勒让德（Legendre）方程。特别地，当m=0时，方程
[ ( 1 ? x 2 ) y ′ ] ′ + λ y = 0 [(1-x^2)y']'+\lambda y=0 [(1?x2)y′]′+λy=0
称为Legendre方程。
Bessel方程和Legendre方程都是变系数二阶线性常微分方程，它们的解Bessel函数和Legendre多项式是重要的特殊函数。