Helmholtz方程在柱坐标系下的变量分离及Bessel方程的导出 | 特殊函数（二） |偏微分方程（二十四）

在圆柱坐标曲面所围的区域上求解时，应采用柱坐标系$(r,\theta ,z)$，此时
$${\Delta }_3=\frac{1}{r}\frac{?}{?r}(r\frac{?}{?r})+\frac{1}{r^2}\frac{{?}^2}{?{\theta }^2}+\frac{{?}^2}{?z^2}$$
设$v(r,\theta ,z)=R(r)\Theta \theta Z(z)$，代入Helmholtz方程（1），两边除以$R\Theta Z$，有
$$\frac{\frac{1}{r}(r{R}^{\prime }{)}^{\prime }}{R}+\frac{1}{r^2}\frac{{\Theta }^{\prime \prime }}{\Theta }+\frac{Z^{\prime \prime }}{Z}+k^2=0$$
逐层剥离，得常微分方程
$$\begin{gathered} Z^{\prime \prime }+\mu Z=0 \\ {\Theta }^{\prime \prime }+\sigma \Theta =0 \\ \frac{1}{r}(r{R}^{\prime }{)}^{\prime }+(k^2?\mu ?\frac{\sigma }{r^2})R=0(4) \end{gathered}$$
如果改记$\lambda =k^2?\mu ,\sigma =v^2$，方程（4）可改写为S-L型方程
$$(r{R}^{\prime }{)}^{\prime }+(\lambda r?\frac{v^2}{r})R=0\text{\hspace{1em}(5)}$$
当$\lambda >0$时，作自变量代换$x=\sqrt{\lambda }r$，记$y(x)=R（\frac{x}{\sqrt{r}}）$，方程（5）变为
$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+(x^2?v^2)y=0$$
称为v阶贝塞尔（Bessel）方程。