有界杆上的温度分布 | 分离变量法（五）| 偏微分方程（十七）

长为l的导热细杆，杆身侧面绝热，内部无热源。杆的一段绝热，杆的另一端与外界温度保持零度的介质自由热交换，杆的初始温度已知，求此有界杆上的温度分布。

解：设杆上各点的温度为$u(t,x)$，则u满足定解问题
$$?\begin{array}{l}\frac{?u}{?t}=a^2\frac{{?}^{2}u}{?x^2},t>0,0<x<l\\ \frac{?u}{?x}{|}_{x=0}=0,(\frac{?u}{?x}+\gamma u){|}_{x=1}=0\\ u{|}_{t=0}=\phi (x)\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$
其中，$\gamma =\frac{h}{k}$，k为杆身的热传导系数，h为杆端与外界的热交换系数。

设$u(t,x)=T(t)X(x)$，代入方程和边界条件，分离得固有值问题
$$\{\begin{array}{l}{X}^{\prime \prime }(x)+\lambda X(x)=0,0<x<l,\\ X^{\prime }(0)=X^{\prime }(l)+\gamma X(l)=0\end{array}$$
和常微分方程
$$T^{\prime }(t)+a^2\lambda T(t)=0$$
上述固有值问题中的方程时S-L型的，$k(x)\equiv 1,q(x)\equiv 0,\rho (x)\equiv 1$。两端$x=0,x=l$均为方程的常点，分别配以第II、III类齐次边界条件。由S-L定理得，固有值$\lambda >0$。

设$\lambda ={\omega }^2>0$，解得
$$X(x)=Acos\omega x+Bsin\omega x$$
代入$x=0$端边界条件
$$X^{\prime }(0)=B\omega =0$$
有$B=0$，代入$x=l$端边界条件
$$X^{\prime }(l)+\gamma X(l)=?A\omega sin\omega l+A\gamma cos\omega l=0$$
得
$$tan\omega l=\frac{\gamma }{\omega }$$

由图可见，此超越方程有无穷多个正实根。记第n个正实根为${\omega }_n$，则得固有值
$${\lambda }_n=w_n^2,n=1,2,?$$
和相应的固有函数
$$X_n(x)=cos{\omega }_{n}x$$
此固有函数的模平方为
$$||X_n(x)|{|}^2={\int }_0^{l}co{s}^2{\omega }_{n}xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^l(1+cos2{\omega }_{n}x)dx=\frac{1}{2}(l+\frac{\gamma }{{\omega }_n^2+{\gamma }^2})$$
由$T(t)$的方程，解得相应于${\lambda }_n={\omega }_n^2$的
$$T_n(t)=e^{?a^2{\omega }_n^{2}t}$$
设$u(t,x)={\sum }_{n=1}^{+\infty }{C}_n{e}^{?a^2{\omega }_n^{2}t}cos{\omega }_{n}x$代入（12）的初始条件
$$u{|}_{t=0}=\sum _{n=1}^{+\infty }{C}_{n}cos{w}_{n}x=\phi (x)$$
这是$\phi (x)$按固有函数系 { c o s ω n x } \{cos\omega_nx\} { cosωn?x}的展开式，由S-L定理中公式（11）得
$$C_n=\frac{1}{||X_n(x)|{|}^2}{\int }_0^l\phi (x)cos{\omega }_{n}xdx=\frac{2}{l+\frac{\gamma }{w_n^2+{\gamma }^2}}{\int }_0^l\phi (x)cos{\omega }_{n}xdx$$
最后得问题（12）式的形式解
$$u(t,x)=\sum _{n=1}^{+\infty }[\frac{1}{2}(l+\frac{\gamma }{{\omega }_n^2+{\gamma }^2}){]}^{?1}{\int }_0^l\phi (\xi )cos{\omega }_n\xi d\xi e^{?a^{2}w{n}^{2}t}cos{w}_{n}x$$