固有值问题的Sturm-Liouville定理
函数的广义Fourie展开
在线性代数中，n维实线性空间V中定义了内积
? x , y ? = ∑ j = 1 n x j y j , x = ( x 1 , x 2 , ? ? ? , x n ) , y = ( y 1 , y 2 , ? ? ? , y n ) \langle \bold x,\bold y\rangle=\sum_{j=1}^n x_jy_j,\quad \bold x=(x_1,x_2,···,x_n), \quad \bold y=(y_1,y_2,···,y_n) ?x,y?=j=1∑n?xj?yj?,x=(x1?,x2?,???,xn?),y=(y1?,y2?,???,yn?)
成为内积空间（欧几里得空间）。内积空间的向量有了长度（模）
∣ ∣ x ∣ ∣ = ? x , x ? 1 2 = ( ∑ j = 1 n ∣ x j 2 ∣ ) 1 2 ||x||=\langle \bold x,\bold x\rangle^\frac{1}{2} =(\sum_{j=1}^n|x_j^2|)^\frac{1}{2} ∣∣x∣∣=?x,x?21?=(j=1∑n?∣xj2?∣)21?
向量间有了夹角。特别地，如果
? x , y ? = ∑ j = 1 n x j y j = 0 \langle \bold x,\bold y\rangle=\sum_{j=1}^n x_jy_j=0 ?x,y?=j=1∑n?xj?yj?=0
则称向量x与y正交。如果 { e 1 , e 2 , ? ? ? , e n } \{e_1,e_2,···,e_n\} {
e1?,e2?,???,en?}是该内积空间V的一组标准正交基 ( ? e i , e j ? = δ i j ) , ? x ∈ V (\langle \bold e_i,\bold e_j\rangle =\delta_{ij}),\forall \bold x\in V (?ei?,ej??=δij?),?x∈V，有 x = ∑ j = 1 n c j e j \bold x=\sum_{j=1}^nc_je_j x=∑j=1n?cj?ej?，其中， c j = ? x , e j ? c_j=\langle \bold x,e_j \rangle cj?=?x,ej??。对于复线性空间，只需定义内积 ? x , y ? = ∑ j = 1 n x j y ? j \langle \bold x,\bold y \rangle=\sum_{j=1}^nx_j \overline y_j ?x,y?=∑j=1n?xj?y?j?也成为内积空间。
推广到函数空间，令 L 2 [ a , b ] = { f ( x ) ∣ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x < + ∞ } L^2[a,b]=\{f(x)|\int_a^b|f(x)|^2dx<+\infty\} L2[a,b]={
f(x)∣∫ab?∣f(x)∣2dx<+∞}，按照函数的加法和数乘，成为无穷维的线性空间。在实函数时，定义内积
? f ( x ) , g ( x ) ? = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x \langle f(x),g(x) \rangle=\int_{a}^b f(x)g(x)dx ?f(x),g(x)?=∫ab?f(x)g(x)dx
L 2 [ a , b ] L^2[a,b] L2[a,b]成为无穷维内积空间，函数有了长度（模）
∣ ∣ f ( x ) ∣ ∣ = ? f ( x ) , f ( x ) ? 1 2 = ( ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ) 1 2 ||f(x)||=\langle f(x),f(x) \rangle^{\frac{1}{2}}=(\int_a^b|f(x)|^2dx)^{\frac{1}{2}} ∣∣f(x)∣∣=?f(x),f(x)?21?=(∫ab?∣f(x)∣2dx)21?
函数间有了夹角，特别地，如果
? f ( x ) , g ( x ) ? = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x \langle f(x),g(x) \rangle=\int_{a}^b f(x)g(x)dx ?f(x),g(x)?=∫ab?f(x)g(x)dx
则称函数 f ( x ) f(x) f(x)与 g ( x ) g(x) g(x)正交。如果 L 2 [ a , b ] L^2[a,b] L2[a,b]中有一串正交函数 { X j ( x ) , j = 1 , 2 , ? ? ? } \{X_j(x),j=1,2,···\} {
Xj?(x),j=1,2,???}, ( ? X i ( x ) , X j ( x ) ? = ∣ ∣ X j ( x ) ∣ ∣ 2 δ i j ) (\langle X_i(x),X_j(x) \rangle=||X_j(x)||^2\delta_{ij}) (?Xi?(x),Xj?(x)?=∣∣Xj?(x)∣∣2δij?)，使 ? f ( x ) ∈ L 2 [ a , b ] \forall f(x)\in L^2[a,b] ?f(x)∈L2[a,b]有
f ( x ) = ∑ j = 1 + ∞ c j X j ( x ) (7) f(x)=\sum_{j=1}^{+\infty}c_jX_j(x) \tag{7} f(x)=j=1∑+∞?cj?Xj?(x)(7)
则称 { X j ( x ) , j = 1 , 2 , ? ? ? } \{X_j(x),j=1,2,···\} {
Xj?(x),j=1,2,???}为 L 2 [ a , b ] L^2[a,b] L2[a,b]中的一串完备正交函数系（正交基）。（7）式称为 f ( x ) f(x) f(x)关于正交基 { X j ( x ) , j = 1 , 2 , ? ? ? } \{X_j(x),j=1,2,···\} {
Xj?(x),j=1,2,???}的广义Fourier展开。可以证明，展开式中系数
c j = ? f ( x ) , X j ( x ) ? ∣ ∣ X j ( x ) ∣ ∣ 2 = ∫ a b f ( x ) X j ( x ) d x ∫ a b ∣ X j ( x ) ∣ 2 d x c_j=\frac{\langle f(x),X_j(x)\rangle}{||X_j(x)||^2}=\frac{\int_a^bf(x)X_j(x)dx}{\int_a^b|X_j(x)|^2dx} cj?=∣∣Xj?(x)∣∣2?f(x),Xj?(x)??=∫ab?∣Xj?(x)∣2dx∫ab?f(x)Xj?(x)dx?
称为广义Fourier系数，函数 f ( x ) f(x) f(x)由它的广义Fourier系数完全确定。展开式中级数的收敛是指
l i m N → + ∞ ∣ ∣ f ( x ) ? ∑ j = 1 N c j X j ( x ) ∣ ∣ = l i m N → + ∞ ( ∫ a b ∣ f ( x ) ? ∑ j ? 1 N c j X j ( x ) ∣ 2 d x ) 1 2 = 0 lim_{N\to +\infty}||f(x)-\sum_{j=1}^Nc_jX_j(x)||=lim_{N\to+ \infty}(\int_a^b|f(x)-\sum_{j-1}^Nc_jX_j(x)|^2dx)^{\frac{1}{2}}=0 limN→+∞?∣∣f(x)?j=1∑N?cj?Xj?(x)∣∣=limN→+∞?(∫ab?∣f(x)?j?1∑N?cj?Xj?(x)∣2dx)21?=0
称为均方收敛。对于复函数空间，只需修改内积定义为
? f ( x ) , g ( x ) ? = ∫ a b f ( x ) g ( x ) ? d x \langle f(x),g(x)\rangle=\int_a^bf(x)\overline{g(x)}dx ?f(x),g(x)?=∫ab?f(x)g(x)?dx
n维内积空间V上的线性变换A（矩阵）称为自共轭的，如果 ? x , y ∈ V \forall \bold x,\bold y\in V ?x,y∈V，有 ? A x , y ? = ? x , A y ? \langle \bold Ax,\bold y \rangle=\langle \bold x,A\bold y\rangle ?Ax,y?=?x,Ay?。自共轭变换的固有值都是实数，不同固有值对应的固有向量相互正交。因此，自共轭变换所有固有值对应的n个相互正交的固有向量构成n维内积空间的正交基。
在函数空间 L 2 [ a , b ] L^2[a,b] L2[a,b]（或其子空间）上，如果存在线性变换L（算子），使对该空间中任意 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)，有 ? L f ( x ) , g ( x ) ? = ? f ( x ) , L g ( x ) ? \langle Lf(x),g(x) \rangle=\langle f(x),Lg(x)\rangle ?Lf(x),g(x)?=?f(x),Lg(x)?，则称算子L在此空间上自共轭。函数空间上的自共轭算子的固有值，固有函数也有n维内积空间上自共轭变换的固有值，固有向量的类似性质。
称二阶线性常微分方程
[ k ( x ) X ′ ( x ) ] ′ ? q ( x ) X ( x ) + λ ρ ( x ) X ( x ) = 0 (8) [k(x)X'(x)]'-q(x)X(x)+\lambda \rho(x)X(x)=0 \tag{8} [k(x)X′(x)]′?q(x)X(x)+λρ(x)X(x)=0(8)
称为Sturm-Liouville（S-L）型方程。之前分离变量得到的方程 X ′ ′ ( x ) + λ ( x ) = 0 X''(x)+\lambda(x)=0 X′′(x)+λ(x)=0就是一个最简单的S-L型方程。对于一般的二阶线性常微分方程
b 0 ( x ) X ′ ′ ( x ) + b 1 ( x ) X ′ ( x ) + b 2 ( x ) X ( x ) + λ X ( x ) = 0 b_0(x)X''(x)+b_1(x)X'(x)+b_2(x)X(x)+\lambda X(x)=0 b0?(x)X′′(x)+b1?(x)X′(x)+b2?(x)X(x)+λX(x)=0
当 b 0 ( x ) ≠ 0 b_0(x)\neq 0 b0?(x)?=0时，两边同乘以
1 b 0 ( x ) e x p ( ∫ b 1 ( x ) b 0 ( x ) d x ) \frac{1}{b_0(x)}exp(\int\frac{b_1(x)}{b_0(x)}dx) b0?(x)1?exp(∫b0?(x)b1?(x)?dx)
即化为S-L型方程（8），其中
k ( x ) = e x p ( ∫ b 1 ( x ) b 0 ( x ) d x ) , q ( x ) = ? b 2 ( x ) b 0 ( x ) k ( x ) , ρ ( x ) = 1 b 0 ( x ) k ( x ) k(x)=exp(\int\frac{b_1(x)}{b_0(x)}dx),\quad q(x)=-\frac{b_2(x)}{b_0(x)}k(x),\quad \rho(x)=\frac{1}{b_0(x)}k(x) k(x)=exp(∫b0?(x)b1?(x)?dx),q(x)=?b0?(x)b2?(x)?k(x),ρ(x)=b0?(x)1?k(x)
考察S-L型方程的固有值问题
{ [ k ( x ) X ′ ( x ) ] ′ ? q ( x ) X ( x ) + λ ρ ( x ) X ( x ) = 0 , a < x < b α 1 X ( a ) ? β 1 X ′ ( a ) = 0 , α 2 X ( b ) + β 2 X ′ ( b ) = 0 (9) \begin{cases} [k(x)X'(x)]'-q(x)X(x)+\lambda \rho(x)X(x)=0,\quad a<x<b \\ \alpha_1X(a)-\beta_1X'(a)=0,\quad \alpha_2X(b)+\beta_2X'(b)=0 \tag{9} \end{cases} {
[k(x)X′(x)]′?q(x)X(x)+λρ(x)X(x)=0,a<x<bα1?X(a)?β1?X′(a)=0,α2?X(b)+β2?X′(b)=0?(9)
a j , b j ≥ 0 , a j 2 + β j 2 ≠ 0 , j = 1 , 2 a_j,b_j\geq 0, \quad a_j^2+\beta_j^2\neq 0, \quad j=1,2 aj?,bj?≥0,aj2?+βj2??=0,j=1,2
其中，方程的系数满足条件：
( 1 ) k ( x ) ∈ C ′ [ a , b ] , q ( x ) , ρ ( x ) ∈ C [ a , b ] ( 2 ) 在 [ a , b ] 上 ， k ( x ) > 0 , ρ ( x ) > 0 , q ( x ) ≥ 0 (1)k(x)\in C^{'}[a,b], \, q(x),\,\rho(x)\in C[a,b] \\ (2)在[a,b]上，k(x)>0,\rho(x)>0,q(x)\geq 0 (1)k(x)∈C′[a,b],q(x),ρ(x)∈C[a,b](2)在[a,b]上，k(x)>0,ρ(x)>0,q(x)≥0
在实函数空间 L ρ 2 [ a , b ] = { f ( x ) ∣ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 ρ ( x ) d x < + ∞ } L_\rho^2[a,b]=\{f(x)|\int_a^b|f(x)|^2\rho(x)dx<+\infty\} Lρ2?[a,b]={
f(x)∣∫ab?∣f(x)∣2ρ(x)dx<+∞}中定义加权内积
? f ( x ) , g ( x ) ? = ∫ a b f ( x ) g ( x ) ρ ( x ) d x \langle f(x),g(x)\rangle = \int_a^bf(x)g(x)\rho(x)dx ?f(x),g(x)?=∫ab?f(x)g(x)ρ(x)dx
L ρ 2 [ a , b ] L_\rho^2[a,b] Lρ2?[a,b]也成为内积空间。
定理：常点情况下的Sturm-Liouville定理
S-L型方程的固有值问题（9）式的固有值、固有函数有以下性质：
（1）非负性：所有的固有值 λ \lambda λ均为实数，且 λ ≥ 0 \lambda \geq 0 λ≥0。有零固有值 λ 0 = 0 \lambda_0=0 λ0?=0的充要条件是 q ( x ) ≡ 0 q(x)\equiv 0 q(x)≡0，且两端不出现第I、III类边界条件。固有值对应的固有函数为常数1.
（2）**可数性：**全体固有值组成无穷数列
λ 1 < λ 2 < ? ? ? < λ n < ? ? ? , l i m n → + ∞ λ n = + ∞ \lambda_1<\lambda_2<···<\lambda_n<···, \quad lim_{n\to+\infty}\lambda_n=+\infty λ1?<λ2?<???<λn?<???,limn→+∞?λn?=+∞
对应于每一个固有值，只有一个线性独立的固有函数，组成对应的固有函数列
X ( 1 ) , X 2 ( x ) , ? , X n ( x ) , ? X_(1),\quad X_2(x),\quad \cdots,\quad X_n(x),\quad \cdots X(?1),X2?(x),?,Xn?(x),?
（3）正交性：不同固有值对应的固有函数相互加权正交，即若固有值 λ n ≠ λ m \lambda_n \neq \lambda_m λn??=λm?，对应的固有函数为 X n ( x ) , X m ( x ) X_n(x),X_m(x) Xn?(x),Xm?(x)，则有
? X n ( x ) , X m ( x ) ? = ∫ a b X n ( x ) X m ( x ) ρ ( x ) d x = 0 \langle X_n(x),X_m(x)\rangle = \int_a^bX_n(x)X_m(x)\rho(x)dx=0 ?Xn?(x),Xm?(x)?=∫ab?Xn?(x)Xm?(x)ρ(x)dx=0
（4）完备性：全体固有函数 { X n ( x ) , n = 1 , 2 , ? } \{X_n(x), n=1,2,\cdots\} {
Xn?(x),n=1,2,?}构成 L ρ 2 [ a , b ] L_\rho^2[a,b] Lρ2?[a,b]空间中以 ρ ( x ) \rho(x) ρ(x)为权函数的完备正交函数系（正交基）。
这里的完备性有如下两种情况：
对于在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有连续一阶导数，分段连续二阶导数，且满足定解问题中的齐次边界条件（9）式的函数 f ( x ) f(x) f(x)，有在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上绝对一致收敛的广义Fourier展开
f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ C n X n ( x ) (10) f(x)=\sum_{n=1}^\infty C_nX_n(x) \tag{10} f(x)=n=1∑∞?Cn?Xn?(x)(10)
其中，广义Fourier系数
C n = ∫ a b f ( x ) X n ( x ) ρ ( x ) d x ∣ ∣ X n ( x ) ∣ ∣ 2 (11) C_n=\frac{\int_a^bf(x)X_n(x)\rho(x)dx}{||X_n(x)||^2} \tag{11} Cn?=∣∣Xn?(x)∣∣2∫ab?f(x)Xn?(x)ρ(x)dx?(11)
模 ∣ ∣ X n ( x ) ∣ ∣ = [ ∫ a b ∣ X n ( x ) ∣ 2 ρ ( x ) d x ] 1 2 ||X_n(x)||=[\int_a^b|X_n(x)|^2\rho(x)dx]^{\frac{1}{2}} ∣∣Xn?(x)∣∣=[∫ab?∣Xn?(x)∣2ρ(x)dx]21?。如果 ∣ ∣ X n ( x ) ∣ ∣ = 1 ||X_n(x)||=1 ∣∣Xn?(x)∣∣=1，则称 X n ( x ) X_n(x) Xn?(x)为归一的， { X n ( x ) } \{X_n(x)\} {
Xn?(x)}为标准正交基。
对于 L ρ 2 [ a , b ] L^2_{\rho}[a,b] Lρ2?[a,b]中任意函数 f ( x ) f(x) f(x)，Fourier展开式(10)、(11)式仍然成立，但是展式（10）是均方收敛意义下的，即部分和的极限。
f ( x ) = l i m N → + ∞ ∑ n = 1 N C n X n ( x ) f(x)=lim_{N\to+\infty}\sum_{n=1}^NC_nX_n(x) f(x)=limN→+∞?n=1∑N?Cn?Xn?(x)
是指
l i m N → + ∞ ∣ ∣ f ( x ) ? ∑ n = 1 N C n X n ( x ) ∣ ∣ = l i m N + ∞ ( ∫ a b ∣ f ( x ) ? ∑ n = 1 N C n X n ( x ) ∣ 2 ρ ( x ) d x ) 1 2 = 0 lim_{N\to+\infty}||f(x)-\sum_{n=1}^NC_nX_n(x)||=lim_{N+\infty}(\int_a^b|f(x)-\sum_{n=1}^NC_nX_n(x)|^2\rho(x)dx)^{\frac{1}{2}}=0 limN→+∞?∣∣f(x)?n=1∑N?Cn?Xn?(x)∣∣=limN+∞?(∫ab?∣f(x)?n=1∑N?Cn?Xn?(x)∣2ρ(x)dx)21?=0